LoG 斑点检测

LoG 斑点检测

斑点：与周围有着颜色差别的区域，即斑点内部的颜色基本相同，同时与其周围的颜色和灰度有差别。由于斑点代表的是一个区域，相比角点，稳定性好，抗噪声能力强，所以在图像配准上扮演了很重要的角色。

易得知边缘附近的灰度分布如图所示

高斯函数的二阶导数如图所示

其中对图像的边缘施加高斯函数的二阶导数则为

可知对边缘信号产生了很好的响应

易知高斯函数为$g_{\sigma}(x,\sigma)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\left(x^2+y^2\right)}{2\sigma^2}}$

定义一个LoG算子，先对图像施加高斯模糊
$G_{\sigma}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\Big(-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}\Big)$
然后在进行拉普拉斯计算
$\nabla[G_\sigma(x,y)*I(x,y)]=[\nabla G_\sigma(x,y)]*I(x,y)$
因为：
$\begin{aligned} \frac{d}{dt}[h(t)*f(t)] &=\frac{d}{dt}\int f(\tau)h(t-\tau)d\tau\\ &=\int f(\tau)\frac{d}{dt}h(t-\tau)d\tau\\ &=f(t)*\frac{d}{dt}h(t) \end{aligned}$
所以可得
$LoG(x,y)=\nabla G_\sigma(x,y)$
计算LoG算子
$\begin{aligned} LoG=\nabla G_{\sigma}(x,y)=& \nabla_xG_\sigma(x,y)+\nabla_yG_\sigma(x,y) \\ =& \frac{\partial^2}{\partial x^2}G_\sigma(x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}G_\sigma(x,y) \\ \text{=}& \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\Big[\frac{x^{2}+y^{2}-2\sigma^{2}}{\sigma^{4}}e^{-\frac{z^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}}\Big] \\ \text{=}& \frac{x^{2}+y^{2}-2\sigma^{2}}{\sigma^{4}}G_{\sigma}(x,y) \end{aligned}$
所以LoG算子即为高斯函数的二阶导数

易知斑点为两个阶跃的中间区域，其中对于不同大小的斑点使用LoG算子，得到如下图所示的结果

可知当LoG的尺度与斑点的宽度匹配时，LoG的幅值在斑点的中心取得最大值（信号正负极与高斯函数相同时）

用不同尺度的LoG和信号卷积，寻找幅值的最大值

则可以发现随着尺度的不断增大，LoG曲线由双波谷逐渐融合成单波谷并趋于水平，导致响应也随着尺度的增大而减小，从而无法确定选定的尺度是否合适，不 知道该尺度下找到的极值点是不是对应着斑点的中心点，为了解决这一个问题，从而提出了LoG归一化的操作

阶跃函数与一阶高斯核的导数的响应随 $\sigma$递减
$\begin{aligned}\text{r} &=\int_{-\infty}^0\frac{\partial g(x,\sigma)}{\partial x}dx+\int_0^\infty(-1)\frac{\partial g(x,\sigma)}{\partial x}dx\\ &=2\int_0^\infty\frac{\partial g(x,\sigma)}{\partial x}dx\\ &=2g(x,\sigma)|^\infty_0\\&=2(g(0,\sigma)-g(-\infty,\sigma))\\ &=2\left(\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}-0\right)\\&=\frac2{\sqrt{2\pi}\sigma} \end{aligned}$
所以只需要乘上一个$\sigma$则可以消除尺度的影响，此时对于不同的尺度，其响应的强度就是相同的。同理对于阶跃函数与二阶高斯核的导数的响应值应该乘以$\sigma^2$

当尺度等于脉冲宽度的一半的时候，不仅极值对应着斑点的中心位置，而且这时候的响应强度比其他尺度响应强度都强。

斑点检测：计算不同的尺度计算LoG响应，选择产生最强响应的尺度，在该尺度上对应的极值点就是斑点的中心位置。