ST表算法总结

RMQ问题

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)：对于长度为n的数组A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n-1)，返回数组A中下标在i,j范围内的最小（大）值，即求解区间最值

求解方法

线段树 预处理O(n) ~ 查询O(log(n))
ST（Sparse Table）表(本质dp）预处理O(nlog(n)) ~ 查询O(1)，不支持在线修改。

ST表算法

首先建立st表，

令

$st[i][j]$

表示从第i个数起连续

$2 ^ j$

，即区间[

$i, i+2^j-1$

]内最大值。

显然，初始状态

$st[i][0] = a[i]$

，就是第

$i$

我们把

$st[i][j]$

分成两部分（

$st[i][j]$

区间有偶数个数），

$[i, i+2 ^ {j-1}-1]$

为一段，

$[i+2^{j-1}, i+2^{j}-1]$

为一段，长度都为

$2^{j-1}$

，

显然

$st[i , j] = max（st[i , j-1]，st[ i + 2^{j-1}, j-1]）$

上式就是状态转移方程。

接着是查询，因为st存的状态长度都是

$2^j$

，但是给出的查询区间长度不一定等于

$2^j$

，

给出定理

对于给定区间

$[x, y]$

，

设

$k =\lfloor log_2{(y-x+1)} \rfloor$

根据上面定理，

$2^k$

肯定刚好大于区间长度的一半，

所以x 到 y 的最大值等于max(从x往后

$2^{k}$

的最大值，从y往前

$2^{k}$

的最大值)

即

$rmq(x, y) = max(st[x][k] , st[y-2^k+1][k])$

k值还可以这样解释，假设拆分成的2个子区间，每个子区间都有2^(k-1)个元素。则2个子区间分别为：

$[i, 2^{k-1} + i -1]$

和

$[j - 2^{k-1} + 1,j]$

。显然必须要满足2个子区间能够完全覆盖[i,j]，即

进而可以推导出 2^k >= (j - i + 1)。这样的话，我们取满足条件的K最小值就可以了。为什么要取最小值呢？是为了保证2个子区间长度尽可能的短。

例题51nod1174

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define d(x) cout << (x) << endl
#pragma GCC diagnostic error "-std=c++11"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e4 + 10;

int n;
int a[N];
int st[N][20];

void rmq()
{
    for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++){     //按列填表
        for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++){
            st[i][j] = max(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}

int ask(int l, int r)       //查询区间最值
{
    int k = log2(r - l + 1);
    return max(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++){
        scanf("%d", &a[i]);
        st[i][0] = a[i];        //初始化
    }
    rmq();
    int q;
    cin >> q;
    while(q--){
        int i, j;
        cin >> i >> j;      //询问区间[i, j]
        cout << ask(i, j) << endl;
    }
    // d(st[0][1]);
    return 0;
}