算法笔记【6】 匈牙利算法
匈牙利算法简介
今天我们来看一个没有前几篇讲的那么常用，但是很有用的算法：匈牙利算法（Hungarian algorithm）。匈牙利算法主要用于解决一些与二分图匹配**有关的问题，所以我们先来了解一下二分图。
二分图（Bipartite graph）是一类特殊的图，它可以被划分为两个部分，每个部分内的点互不相连。下图是典型的二分图。
可以看到，在上面的二分图中，每条边的端点都分别处于点集X和Y中。匈牙利算法主要用来解决两个问题：求二分图的最大匹配数和最小点覆盖数。
这么说起来过于抽象了，我们现在从实际问题出发。
最大匹配问题
看完上面讲的，相信读者会觉得云里雾里的：这是啥？这有啥用？所以我们把这张二分图稍微做点手脚，变成下面这样：
现在Boys和Girls分别是两个点集，里面的点分别是男生和女生，边表示他们之间存在“暧昧关系"。最大匹配问题相当于，假如你是红娘，可以撮合任何一对有暧昧关系的男女，那么你最多能成全多少对情侣？（数学表述：在二分图中最多能找到多少条没有公共端点的边）
现在我们来看看匈牙利算法是怎么运作的：
我们从B1看起（男女平等，从女生这边看起也是可以的），他与G2有暧昧，那我们就先暂时把他与G2连接（注意这时只是你作为一个红娘在纸上构想，你没有真正行动，此时的安排都是暂时的）
来看B2，B2也喜欢G2，这时G2已经“名花有主”了（虽然只是我们设想的），那怎么办呢？我们倒回去看G2目前被安排的男友，是B1，B1有没有别的选项呢？有，G4，G4还没有被安排，那我们就给B1安排上G4。
然后B3，B3直接配上G1就好了，这没什么问题。至于B4，他只钟情于G4，G4目前配的是B1。B1除了G4还可以选G2，但是呢，如果B1选了G2，G2的原配B2就没得选了。我们绕了一大圈，发现B4只能注定单身了，可怜。（其实从来没被考虑过的G3更可怜）
这就是匈牙利算法的流程，至于具体实现，我们来看看代码：
public class Arithmetic6 {
public static void main(String[] args) {
int[][] map = new int[][]{{1, 1, 0, 1, 0, 0, 0},
{0, 1, 0, 0, 1, 0, 0},
{1, 0, 0, 1, 0, 0, 1},
{0, 0, 1, 1, 0, 1, 0},
{0, 0, 0, 1, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 1, 0, 0, 0}};
Hungarian hungarian = new Hungarian(map);
int hungarian1 = hungarian.hungarian();
System.out.println(hungarian1);
}
static class Hungarian {
int m, n;//M, N分别表示左、右侧集合的元素数量
int[][] map;//邻接矩阵存图
int[] p;//记录当前右侧元素所对应的左侧元素
boolean[] vis;//记录右侧元素是否已被访问过
public Hungarian(int[][] map) {
this.m = map.length;
this.n = map[0].length;
this.map = map;
this.p = new int[n];
this.vis = new boolean[n];
}
boolean match(int i, int b) {
for (int j = b; j < n; j++) {
if (map[i][j] != 0) {
// 右侧第j号被匹配过了 递归去找 匹配 p[j] 的对象 有没有其他可以匹配的
if (vis[j]) {
if (match(p[j], j + 1)) {
p[j] = i;
return true;
}
} else {
//没有匹配 直接配对
vis[j] = true;
p[j] = i;
return true;
}
}
}
return false;
}
public int hungarian() {
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
if (match(i, 0)) {
cnt++;
}
}
return cnt;
}
}
}其实流程跟我们上面描述的是一致的。注意这里使用了一个递归的技巧，我们不断往下递归，尝试寻找合适的匹配。
最小点覆盖问题
另外一个关于二分图的问题是求最小点覆盖：我们想找到最少的一些点，使二分图所有的边都至少有一个端点在这些点之中。倒过来说就是，删除包含这些点的边，可以删掉所有边。
这为什么用匈牙利算法可以解决呢？你如果以为我要长篇大论很久就错了，我们只需要一个定理：
（König定理）
一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数
好了，本节可以结束了，我们不是搞数学的，不需要证明（有兴趣的话可以参考这篇博客，虽然愚昧的我并没看懂）。但是提供一个直观地找最小覆盖点集的方法：看上节最后一张图（或题图），从左侧一个未匹配成功的点出发，走一趟匈牙利算法的流程（即紫色的箭头），所有左侧未经过的点，和右侧经过的点，即组成最小点覆盖。（即图中的B3、G2、G4）
