今天来说说softmax loss以及它的变种
01 softmax loss
softmax loss是我们最熟悉的loss之一了，分类任务中使用它，分割任务中依然使用它。softmax loss实际上是由softmax和cross-entropy loss组合而成，两者放一起数值计算更加稳定。这里我们将其数学推导一起回顾一遍。
令z是softmax层的输入，f(z)是softmax的输出，则
单个像素i的softmax loss等于cross-entropy error如下:
展开上式：
在caffe实现中，z即bottom blob，l(y,z)是top blob，反向传播时，就是要根据top blob diff得到bottom blob diff,所以要得到
下面求loss对z的第k个节点的梯度
可见，传给groundtruth label节点和非groundtruth label节点的梯度是不一样的。
我们看看caffe中Backward的代码。
Dtype* bottom_diff =
bottom[0]->mutable_cpu_diff();
const Dtype* prob_data = prob_.cpu_data();
caffe_copy(prob_.count(), prob_data,
bottom_diff);
const Dtype* label =
bottom[1]->cpu_data();
int dim = prob_.count() / outer_num_;
int count = 0;
for (int i = 0; i < outer_num_; ++i) {
for (int j = 0; j < inner_num_; ++j) {
const int label_value =
static_cast<int>(label[i * inner_num_ + j]);
if (has_ignore_label_ &&
label_value == ignore_label_) {
for (int c = 0; c <
bottom[0]->shape(softmax_axis_); ++c) {
bottom_diff[i * dim + c *
inner_num_ + j] = 0;
}
} else {
bottom_diff[i * dim + label_value *
inner_num_ + j] -= 1;
++count;
}
}
}作为loss层，很有必要测试一下，测试分两块，forward和backward，我们看看caffe中的代码。
Test_softmax_with_loss_layer.cpp
Forward测试是这样的，定义了个bottom blob data和bottom blob label，给data塞入高斯分布数据，给label塞入0～4。
blob_bottom_data_(new Blob<Dtype>(10, 5, 2, 3))
blob_bottom_label_(new Blob<Dtype>(10, 1, 2, 3))然后分别ingore其中的一个label做5次，最后比较，代码如下。
Dtype accum_loss = 0;
for (int label = 0; label < 5; ++label) {
layer_param.mutable_loss_param()->set_ignore_label(label);
layer.reset(new
SoftmaxWithLossLayer<Dtype>(layer_param));
layer->SetUp(this->blob_bottom_vec_,
this->blob_top_vec_);
layer->Forward(this->blob_bottom_vec_, this->blob_top_vec_);
accum_loss +=
this->blob_top_loss_->cpu_data()[0];
}
// Check that each label was included all but
once.
EXPECT_NEAR(4 * full_loss, accum_loss, 1e-4);至于backwards，直接套用checker.CheckGradientExhaustive就行，它自己会利用数值微分的方法和你写的backwards来比较精度。
TYPED_TEST(SoftmaxWithLossLayerTest,
TestGradientIgnoreLabel) {
typedef typename TypeParam::Dtype Dtype;
LayerParameter layer_param;
//
labels are in {0, ..., 4}, so we'll ignore about a fifth of them
layer_param.mutable_loss_param()->set_ignore_label(0);
SoftmaxWithLossLayer<Dtype> layer(layer_param);
GradientChecker<Dtype> checker(1e-2, 1e-2, 1701);
checker.CheckGradientExhaustive(&layer, this->blob_bottom_vec_,
this->blob_top_vec_, 0);
}原始的softmax loss非常优雅，简洁，被广泛用于分类问题。它的特点就是优化类间的距离非常棒，但是优化类内距离时比较弱。
鉴于此，就有了很多对softmax loss的改进，下面一一道来。
02 weighted softmax loss【1】
这第一个改进就是weighted，怎么说？假如我们是一个分类问题，只有两类，但是两类的样本数目差距非常之大。比如边缘检测问题，这个时候，明显边缘像素的重要性是比非边缘像素大的，此时可以针对性的对样本进行加权。
wc就是这个权重，像刚才所说，c=0代表边缘像素，c=1代表非边缘像素，则我们可以令w0=1，w1=0.001，即加大边缘像素的权重。
当然，这个权重，我们还可以动态地计算让其自适应。
具体的反向公式推导，就跟上面差不多不再赘述，详细的实现我会在git中给出代码。【1】中用了weighted sigmoid_cross_entropy_loss，原理类似。
固定权重的fixed softmax loss和自适应权重的adapted softmax loss大家可以去git中自行查看。
03 soft softmax loss【2】
首先我们看下面的式子。
当T=1时，就是softmax的定义，当T>1，就称之为soft softmax，T越大，因为Zk产生的概率差异就会越小。文【2】中提出这个是为了迁移学习，生成软标签，然后将软标签和硬标签同时用于新网络的学习。
为什么要想到这么用，这是因为当训练好一个模型之后，模型为所有的误标签都分配了很小的概率；然而实际上对于不同的错误标签，其被分配的概率仍然可能存在数个量级的悬殊差距。这个差距，在softmax中直接就被忽略了，但这其实是一部分有用的信息。
文章的做法是先利用softmaxloss训练获得一个大模型，然后基于大模型的softmax输出结果获取每一类的概率，将这个概率，作为小模型训练时soft target的label。
04 Large-Margin Softmax Loss【3】
这是文【3】中提出的loss，被称为L-Softmax loss。我们先从一张图来理解下softmax loss，这张图显示的是不同softmax loss和L-Softmax loss学习到的cnn特征分布。第一列就是softmax，第2列是L-Softmax loss在参数m取不同值时的分布。通过可视化特征可知学习到的类间的特征是比较明显的，但是类内比较散。而large-margin softmax loss则类内更加紧凑，怎么做到的呢？
先看一下loss的定义形式如下。
由于 zk 是全连接层的输出，所以它可以写成
的形式，将内积更具体的表现出来，就是
我们看二分类的情况，对于属于第1类的样本，我们希望
如果我们对它提出更高的要求呢？由于cos函数在0～PI区间是递减函数，我们将要求改为
其中m>=1，
在这个条件下，原始的softmax条件仍然得到满足。
我们看下图，如果W1=W2，那么满足条件2，显然需要θ1与θ2之间的差距变得更大，原来的softmax的decision boundary只有一个，而现在类别1和类别2的decision boundary不相同，这样类间的距离进一步增加，类内更近紧凑。
更具体的定义如下：
L-Softmax loss中，m是一个控制距离的变量，它越大训练会变得越困难，因为类内不可能无限紧凑。
作者的实现是通过一个LargeMargin全连接层+softmax loss来共同实现，可参考代码。
05 angular softmax loss【4】
也称A-softmax loss。它就是在large margin softmax loss的基础上添加了两个限制条件||W||=1和b=0，使得预测仅取决于W和x之间的角度θ。
上图分别比较了原softmax loss，原softmax loss添加||w||=1约束，以及在L-softmax loss基础上添加||w||=1约束的结果。
为什么要添加|w|=1的约束呢？ 作者做了两方面的解释，一个是softmax loss学习到的特征，本来就依据角度有很强的区分度，另一方面，人脸是一个流形，将其特征映射到超平面表面，也可以解释。
06 L2-constrained softmax loss【5】
将学习的特征x归一化。作者观测到好的正面的脸，特征的L2-norm大，而特征不明显的脸，其对应的特征L2-norm小，因此提出这样的约束来增强特征的区分度。
上面式就是将其归一化到固定值α。实际训练的时候都不需要修改代码，只需要添加L2-norm层与scale层，如下图。
为什么要加这个scale层？NormFace【6】中作出了解释。
该文章指出了直接归一化权重和特征，会导致loss不能下降。因为就算是极端情况下，多类样本，令正样本|wx|=1取最大值，负样本|wx|=-1取最小值，这时候分类概率也是
当类别数n=10，p=0.45；n=1000，p=0.007。当类别数增加到1000类时，正样本最大的概率还不足0.01，而反向求导的时候，梯度=1-p，会导致一直传回去很大的loss。
所以，有必要在后面加上scale层，作者还计算出了该值的下界，具体可自行参考。
07 additive margin softmax loss【7】
定义如下
看明白了吧，就是把L-Softmax的乘法改成了减法，同时加上了尺度因子s。作者这样改变之后前向后向传播变得更加简单。其中W和f都是归一化过的，作者在论文中将m设为0.35。
值得注意的是，normalization是收敛到好的点的保证，同时，必须加上scale层，scale的尺度在文中被固定设置为30。
那到底什么时候需要normalization什么时候又不需要呢？这实际上依赖于图片的质量。
我们看一个公式如下
其中α就是向量x的模，它说明模值比较小的，会有更大的梯度反向传播误差系数，这实际上就相当于难样本挖掘了。不过，也要注意那些质量非常差的，模值太小可能会造成梯度爆炸的问题。
08 argface additive angular margin【8】
定义如下：
在定义这个loss的时候，作者干脆做了一个表把现有基于softmax loss及其改进的loss的二分类决策边界条件都列了出来。
说累了，一句话，有效。。。。
到此可以说为了改进softmax loss用尽了手段了，至于有没有用，具体效果大家去尝试吧，附上未完整的GitHub链接。
https://github.com/longpeng2008/Caffe_Long
先写到这里，后续再充实实验结果和更多原理。
参考文献
【1】Xie S, Tu Z.Holistically-nested edge detection[C]//Proceedings of the IEEE international conference on computer vision. 2015: 1395-1403.
【2】Hinton G,Vinyals O, Dean J. Distilling the knowledge in a neural network[J]. arXiv
preprint arXiv:1503.02531, 2015.
【3】Liu W, Wen Y,Yu Z, et al. Large-Margin Softmax Loss for Convolutional Neural
Networks[C]//ICML. 2016: 507-516.
【4】Liu W, Wen Y,Yu Z, et al. Sphereface: Deep hypersphere embedding for face
recognition[C]//The IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition
(CVPR). 2017, 1.
【5】Ranjan R, Castillo C D, Chellappa R. L2-constrained softmax loss for discriminative face verification[J]. arXiv preprint arXiv:1703.09507, 2017.
【6】Wang F, Xiang X, Cheng J, et al. NormFace: $ L_2 $ Hypersphere Embedding for Face Verification[J]. arXiv preprint arXiv:1704.06369, 2017.
【7】Wang F, Liu W,Liu H, et al. Additive Margin Softmax for Face Verification[J]. arXiv preprint arXiv:1801.05599, 2018.
【8】Deng J, Guo J, Zafeiriou S. ArcFace: Additive Angular Margin Loss for Deep Face
Recognition[J]. arXiv preprint arXiv:1801.07698, 2018.
