求各种极限的方法

直接代入型

• $\lim\limits_{x->3}(x+1)$

x 的极限接近3，就是在 3 附近，我们直接把 x=3 代入 x+1 中计算，得 4.

有一些特例：

• $\frac{常数}{∞}=0$
• $\frac{∞}{常数}=∞$
• $\frac{非零常数}{0}=∞$
• $∞^{>0}=∞$
• $∞^{<0}=\frac{1}{∞^{>0}}=0$
• $n^{∞}=0，0>n>1$
• $n^{∞}=∞，n>1$

 

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$\frac{∞}{∞}$

一些题目直接代入是无解的，比如 $\frac{∞}{∞}$

• $\lim\limits_{x->∞}\frac{x^{100}+x^{-1001}+x}{x^{1000}+2x}$

 

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解法：抓主要趋势

在很多个趋势（∞）里，我们要找到最大的那个趋势，因为那个才是影响最大的项。

$\frac{∞}{∞}$

• 找出趋势
• 看指数，分子、分母保留最大的趋势

$\lim\limits_{x->∞}\frac{x^{100}+x^{-1001}+x}{x^{1000}+2x}$

• = $\lim\limits_{x->∞}\frac{∞^{100}+∞^{-1001}+∞}{∞^{1000}+2∞}$
• = $\lim\limits_{x->∞}\frac{∞+0+∞}{∞+∞}$
• = $\lim\limits_{x->∞}\frac{x^{100}}{x^{1000}}$
• = $\lim\limits_{x->∞}\frac{1}{x^{900}}$
• = $\lim\limits_{x->∞}\frac{1}{∞^{900}}$
• = $\frac{1}{∞}$
• = $0$
   

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解法：用洛必达法则

 

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$\frac{0}{0}$

$\lim\limits_{x->0}\frac{x}{sinx}=\frac{0}{0}$

当把 $x->0$ 代入式子后，会变成 $\frac{0}{0}$，也会出现无解的情况。

 

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解法：用等价无穷小代换

当某部分趋向 0 时，有五种情况：

第一种情况，$x->0，sin x = x$，

• $\lim\limits_{x->0}\frac{x}{sinx}=\frac{x}{x}=1$

第二种情况，$1-cos\Delta$ 可变为 $\frac{1}{2}\Delta^{2}$

• $\lim\limits_{x->0}\frac{1-cosx}{x}=\lim\limits_{x->0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{x}$

后续三种情况性质同上，都是代换形式。

 

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解法：用洛必达法则

若将未知数 $x->0、x->∞$ 代入后，式子是 $\frac{0}{0}$ or $\frac{∞}{∞}$ ，则 $\lim\limits \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits \frac{f$，分子变成分子的导数、分母变成分母的导数。
 

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$∞·0$

$\lim\limits_{x->∞}x(cos\frac{1}{x}-1)$

• = ∞ · (cos 0 - 1)
• = ∞ · 0

直接代入遇到 $∞·0$，也算不出结果。

我们有另外的解法：

• 找到最简单的一项 a
• 把此项变成 $\frac{1}{\frac{1}{a}}$

$\lim\limits_{x->∞}x(cos\frac{1}{x}-1)$

• = $\lim\limits_{x->∞}\frac{1}{\frac{1}{x}}(cos\frac{1}{x}-1)$
• = $\lim\limits_{x->∞}\frac{cos\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}}$
• = $\frac{0}{0}$
   

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指数、底数都有 x 的极限

形如：$\lim\limits_{x->0}(1+3x)^{\frac{2}{sinx}}$

把 $底数^{指数}$ 变成 $e^{指数·ln底数}$

$\lim\limits_{x->0}(1+3x)^{\frac{2}{sinx}}=\lim\limits_{x->0}e^{\frac{2}{sinx}ln(1+3x)}$

= $\lim\limits_{x->0}e^{\frac{2ln(1+3x)}{sinx}}$

$\lim\limits_{x->?}e^{指数}=e^{\lim\limits_{x->?}指数}$

= $e^{\lim\limits_{x->0}}{\frac{2ln(1+3x)}{sinx}}$
 

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函数的左右极限

需要求左右极限的情形

有三种情况的极限，只能通过最原始的方法 — 左右极限来求。

• 第一类，函数是带大括号的分段函数，要求的极限是在分段点处的极限。

• 第二类，数 $g^{(x)}$ 在 $g(x)$

• 第三类，$arctan ~g(x)$ 在 $g(x)$

做题方法：

• 先求左极限、右极限
• 当左极限 = 右极限 = 不为 ∞ 的数时，函数极限存在，且极限 = 左极限 = 右极限
• 当左极限 = 右极限 = -∞ 或者 +∞ 时，函数极限为 ∞ / 不存在 / 没有极限
• 当左极限 != 右极限 且 存在不为 ∞ 的值时，函数极限不存在 且 不为 ∞