python实现马斯京根算法

概要：文章介绍了非线性方程求解方法。具体为二分法、简单迭代法、迭代加速、以及一种特殊的迭代加速方法（Newton迭代法）

前置知识
数值求解非线性方程主要关注：
1.确定迭代格式
2.讨论收敛性
3.分析收敛速度

1 非线性方程二分法

核心

取半求异

误差、收敛性和收敛速度分析

特点：（1）计算简单、编程容易；（2）对f(x)要求不高；（3）无法求出复根和重根；（4）收敛速度慢

2 简单迭代法

核心

构建X_k+1=g(X_k)

敛散定理

定理一是全局收敛（一般不用于计算，只作为定义手段）

定理1常用形式，可用于计算

定理二是局部收敛（同样只是定义）

类似的，计算形式如下：

定理三是发散定理，和上面定理2相反

3 迭代加速方法

简单迭代法大多数情况下式线性收敛，可通过加权方法加速收敛，方法如下：

3.1 埃特金（AITKEN）加速

原理推导（实话说这个我没推导）

迭代格式

加速序列

看不懂，记住Aitken具有超线性收敛就行了吧

3.2 斯蒂芬森（Steffensen）加速

迭代格式（三组三组计算，单线计算相较于上面的双线计算）

加速序列

斯蒂芬森是二阶以上收敛

4 NEWTON迭代法（又称切线方法）

4.1 Newton切线法

Newton迭代原理：将非线性方程逐步线性化，从而将非线性方程的求根转化为线性方程的求根问题

（级数展开的一阶形式）

迭代格式

收敛定理

牛顿迭代具有二阶收敛速度

缺点：Newton方法的收敛性依赖于X₀的选取

收敛性计算

4.2 Newton下山法

**原理：**加权平均

计算步骤

这里的选取λ=1/2应该为λ=1/(2^m)

5 总结一下