数学建模与机器学习报告 机械数学建模

文章目录

• 5.2 机器人的机械结构数学建模

• 5.2.1 机器人运动学基础
• 5.2.2 机器人坐标变换
• 5.2.3 利用拉格朗日法导出机械结构模型

• 5.3 机器人的电气结构数学建模

5.2 机器人的机械结构数学建模

利用机器人的运动学和动力学知识，使用拉格朗日法推导机器人的机械结构数学模型。

5.2.1 机器人运动学基础

（1） D-H表示法
D-H法是 Denative 和 Hartenberg 提出的针对机器人运动学进行建模的标准方法。适用于任何机器人构型，而与机器人的结构和复杂程度无关。
D-H法为机器人的每个关节处的杆件坐标系建立一个 4×4 齐次变换矩阵，以此表示此关节处的单杆与前一个单杆坐标系的关系。总体思想是首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到相邻下一个关节的变换矩阵。通过逐次变换，把所有变化结合起来，就确定了机器人的末端关节与基座（固定坐标系）之间的总变化，从而建立运动学方程并求解。
（2） 正运动学
假设有一个构型已知的机器人，它的所有关节角度和单杆长度都是已知的，那么很容易算出机器人的受爪在空间的位置，这一过程称为正运动学分析。换而言之，如果机器人的所有关节角度变量已知，用正运动学方程就能计算任一瞬间机器人手爪的位置。即正运动学是通过已知关节空间的关节角变量，去计算笛卡尔空间手爪位置的分析方法。
（3） 逆运动学
如果机器人的手爪在空间中的位置是已知的，就必须反过来求取机器人的每一个关节的角度。只有在机器人各个关节的角度达到要求的值时，才能保证机器人的手爪定位在所期望的位置。即已知笛卡尔空间中手爪的位置，求取关节空间中各个关节变量的值，这是逆运动学。
简而言之，正运动学是由关节角度求位置，而逆运动学是由位置求关节角度。

5.2.2 机器人坐标变换

在机器人的控制中，经常需要用到不同的坐标系，各种数据需要在不同的坐标系之间进行变换，主要变换为平移变换和旋转变换。

（1） 二维平面上的平移变换

如图5-6，点X在坐标系A（$x_A$,$y_A$）中表示为$^{A}\textrm{X}$=$[^{A}\textrm{x},^{A}\textrm{y}]^T$，在坐标系B（$x_B$,$y_B$）中表示为向量$^{B}\textrm{X}$=$[^{B}\textrm{x},^{B}\textrm{y}]^T$。坐标系 A 到 B 的平移向量为$^{A}\textrm{q}_B$=$[q_x,q_y]^T$，则 $^{A}\textrm{X}$和$^{B}\textrm{X}$的关系如下表示：

$\begin{bmatrix} ^{A}\textrm{x}\\^{A}\textrm{y} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ^{B}\textrm{x}\\^{B}\textrm{y} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} q_x\\q_y \end{bmatrix}$

即$^{A}\textrm{X}=^{B}\textrm{X}+^{A}\textrm{q}_B \tag{5-19}$

（2）二维平面上的旋转变换

如图5-7，坐标系B（$x_B$,$y_B$）是由坐标A（$x_A$,$y_A$）旋转角度θ得到的，因此对于点X，$^{A}\textrm{X}$=$[^{A}\textrm{x},^{A}\textrm{y}]^T$，$^{B}\textrm{X}$=$[^{B}\textrm{x},^{B}\textrm{y}]^T$之间就是一个旋转变换关系。其中旋转方向以逆时针为正。旋转矩阵：

$^{A}\textrm{R}_B =\begin{bmatrix} cos\theta &-sin\theta\\sin\theta&cos\theta \end{bmatrix} \tag{5-20}$

变换结果为：$^{A}\textrm{X}=^{A}\textrm{R}_B{^{B}}\textrm{X}\tag{5-21}$

即$\begin{bmatrix} ^{A}\textrm{x}\\^{A}\textrm{y} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} cos\theta &-sin\theta\\sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ^{B}\textrm{x}\\^{B}\textrm{y} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ^{B}\textrm{x}×cos\theta-^{B}\textrm{y}×sin\theta\\^{B}\textrm{x}×sin\theta+^{B}\textrm{y}×cos\theta \end{bmatrix}$

（3）二维平面上的平移、旋转复合变换

对于点X，在坐标系A、B中分别表示为$^{A}\textrm{X}$，$^{B}\textrm{X}$，坐标系 A 到 B 的平移向量为$^{A}\textrm{q}_B$=$[q_x,q_y]^T$，旋转向量为$^{A}\textrm{R}_B$，则复合变换公式为：

$^{A}\textrm{X}=^{A}\textrm{R}_B{^{B}}\textrm{X}+^{A}\textrm{q}_B\tag{5-22}$

（4）三维空间中的平移、旋转变换

三维空间中的复合变换公式同二维空间为：

$^{A}\textrm{X}=^{A}\textrm{R}_B{^{B}}\textrm{X}+^{A}\textrm{q}_B\tag{5-27}$

在三维空间中，围绕 x 轴、y轴、z轴旋转 θ 角之后的旋转矩阵分别如下所示：

绕 x 轴旋转：

$^{A}\textrm{R}_B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta &-sin\theta \\ 0 & sin\theta&cos\theta \end{bmatrix} \tag{5-24}$

绕 y 轴旋转：

$^{A}\textrm{R}_B = \begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 &0 \\ -sin\theta & 0&cos\theta \end{bmatrix}\tag{5-25}$

绕 z 轴旋转：

$^{A}\textrm{R}_B = \begin{bmatrix} cos\theta &-sin\theta &0 \\ sin\theta&cos\theta & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\tag{5-26}$

（5）坐标变换矩阵的整合

建立 4×4矩阵，将点 X在坐标系旋转加平移转换关系整合表示为：$\begin{bmatrix} ^{A}\textrm{X}\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ^{A}\textrm{R}_B & ^{A}\textrm{q}_B\\ 0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ^{B}\textrm{X}\\1 \end{bmatrix} \tag{5-30}$

5.2.3 利用拉格朗日法导出机械结构模型

拉格朗日法的基础是分析系统能量与系统变量及其微分之间的关系，是将有关运动的描述转化为能量的描述，从而求得运动方程式。

不是一般性，取 n 维力学空间中 Q 点的 坐标为（$q_1$,$q_2$,…,$q_n$）,而$q_i$(i = 1,2,…,n)所受合力为$u_i$。定义拉格朗日函数 L = T - U，T 是动能，U 是势能。荣国公式推导可以得到拉格朗日运动方程为：

$u_i = \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}) - \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{\partial D}{\partial \dot q_i} \tag{5-31}$

上式中 D 是损失能量。

考虑到粘性摩擦，造成的能量损失 D 为：

$D = \frac{1}{2}\sum c_i\dot q_i^2 \tag{5-32}$

这里的 $c_i$是粘性系数。

综上所述，利用拉格朗日法导出运动方程式的步骤如下：

① 设定系统的 $q_i$和对应的力$u_i$。

② 计算系统的动能 T；势能 U 和能量损失 D。

③ 将第②步的结果带入拉格朗日运动方程（5-31）。

利用拉格朗日法导出单杆的数学模型，坐标系如图5-8所示。为了简化运算，忽略电机和齿轮的质量以及惯性的影响。

以单杆的轴心端(连接电机)为原点，存在两个坐标系。其中，固定坐标系（0）的坐标轴为（$^{0}\textrm{x},^{0}\textrm{y},^{0}\textrm{z}$），他是世界坐标系（X,Y,Z）在 XY 平面上的一个平移。固定于单杆的坐标系（1）的坐标轴为（$^{1}\textrm{x},^{1}\textrm{y},^{1}\textrm{z}$），$^{1}\textrm{z}$ 和 $^{0}\textrm{z}$轴重合。单杆坐标系（1）随着单杆的转动而相对于固定坐标系（0）绕 $^{0}\textrm{z}$轴旋转。

对于空间中的任一点 X∈$R^3$,在坐标系（0）、（1）中的坐标向量分贝为$^{0}\textrm{X}$ 和 $^{1}\textrm{X}$，扩展为

$\begin{bmatrix} ^{0}\textrm{X}\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ^{0}\textrm{x} \\ ^{0}\textrm{y} \\ ^{0}\textrm{z} \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} ^{1}\textrm{X}\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ^{1}\textrm{x} \\ ^{1}\textrm{y} \\ ^{1}\textrm{z} \\ 1 \end{bmatrix} \tag{5-33}$

从坐标系（0）变换到坐标系（1），因为是绕 $^{0}\textrm{z}$ 轴旋转 $\theta_1$，所以由公式（5-26）可得坐标变换矩阵 $A_1$ 为：

$^{A}\textrm{R}_B = \begin{bmatrix} cos\theta_1&-sin\theta_1 &0 &0 \\ sin\theta_1&cos\theta_1 & 0 &0 \\0 & 0 &1 &0 \\0 & 0 &0 &1 \end{bmatrix} \tag{5-34}$

图 5-8中，单杆的重心点 $P_{g1}$在单杆坐标系（1）上的坐标为（$r_1$，0，0），由式（5-30）可得$P_{g1}$点在固定坐标系（0）上有：

$P_{g1} = A_1\begin{bmatrix} r_1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \tag{5-35}$

将式（5-34）代入式（5-35）可得：

$P_{g1} = \begin{bmatrix} r_1 cos\theta_1 \\ r_1 sin\theta_1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \tag{5-36}$

式（5-36）为单杆的重心在固定坐标系（0）上你的坐标值，将以上 4×1 的向量去掉扩充的最后一个元素“1”，恢复到 3×1矩阵：

$P_{g1} = \begin{bmatrix} r_1 cos\theta_1 \\ r_1 sin\theta_1 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{5-37}$

对式（5-37）求时间上额微分，得到速度量$V_{g1}$:

$V_{g1} = \begin{bmatrix} -r_1 \dot \theta_1 sin\theta_1 \\r_1 \dot \theta_1 cos\theta_1\\ 0 \end{bmatrix} \tag{5-38}$

因为单杆坐标系（1）是绕固定坐标系（0）以 $^{0}\textrm{z}$为轴旋转$\theta _1$角度，因此在$^{0}\textrm{x}$轴和$^{0}\textrm{y}$轴上没有角度变化。所以单杆坐标系（1）相对于固定坐标系（0）的角速度$^{1}\textrm{ω}$为：

$^{1}\textrm{ω} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ \dot \theta_1 \end{bmatrix} \tag{5-39}$

$\dot \theta_1$是单杆坐标系（1）绕固定坐标系$^{0}\textrm{z}$轴（与$^{1}\textrm{z}$轴重合）旋转的角速度。

此外，单杆的动能 T 是单杆运动时的速度与角速度的能量之和：

$T = \frac{1}{2}m_1(V_{g1})^TV_{g1} + \frac{1}{2}({^{1}\textrm{ω}})^T I_{zzg1} {^{1}\textrm{ω}} \tag{5-40}$

式中，$m_1$是单杆的质量，$V_{g1}$是单杆重心的移动速度，$^{1}\textrm{ω}$是单杆旋转的角速度，$I_{zzg1}$是单杆重心在 z 轴方向的转动惯量。

综上得到：

$T= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -r_1 \dot \theta_1 sin\theta_1 \\r_1 \dot \theta_1 cos\theta_1\\ 0 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} -r_1 \dot \theta_1 sin\theta_1 \\r_1 \dot \theta_1 cos\theta_1\\ 0 \end{bmatrix}+ \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot \theta_1 \end{bmatrix}^T I_{zzg1} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot \theta_1 \end{bmatrix}$

整理后得：

$T = \frac{1}{2} m_1 r_1^2 \dot \theta_1^2+ \frac{1}{2} I_{zzg1} \dot \theta_1^2 \tag{5-42}$

因为哪敢是在 XY 平面内转动，因此将重力和势能忽略不计。力矩$\tau$使单杆旋转的动力，所以$u_1=\tau$，并且$q_1=\theta_1$。考虑到粘性摩擦，可得：

$\frac{\partial D}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial D}{\partial \dot \theta_1} = \partial(\frac{1}{2} c_1 \dot \theta_1^2)/ \partial \dot \theta_1 = c_1\dot \theta_1 \tag{5-43}$

下面分别计算拉格朗日运动方程（5-31）中的其他各项：

$\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot \theta_1} = m_1 r_1^2 \dot \theta_1 + I_{zzg1}\dot \theta_1 \tag{5-44}$

所以，

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}) = m_1 r_1^2 \ddot \theta_1 + I_{zzg1}\ddot \theta_1 \tag{5-45}$

又有

$\frac{\partial L}{\partial q_1} = \frac{\partial T}{\partial \theta_1} =0 \tag{5-46}$

将以上各项带入拉格朗日运动方程，

$u_i = \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}) - \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{\partial D}{\partial \dot q_i}$

整理后可得：

$\tau = (m_1 r_1^2 + I_{zzg1}) \ddot \theta_1 +c_1 \dot \theta_1 \tag{5-47}$

即为单杆运动的数学模型。

5.3 机器人的电气结构数学建模

驱动机器人关节运动的为电机，因此建立直流电机和减速器的数学模型。
（1） 直流电机的数学模型
直流电机，是将地哪能转换成机械能的一种装置。直流电机的电磁转矩$T_e$(由电枢电流和磁场相互作用而产生的电磁力形成的转矩)与流经电机转子即电枢的电流$i_a$成正比，其比例常数$K_t$为转矩常数，即
$T_e = K_t i_a \tag{5-48}$
直流电机的无负载转速与反电动势成正比。直流电机轴在旋转时两个端子之间会产生电压，成为反电动势。反电动势 e 与角速度$\omega = \dot \theta$成正比，比例系数是 $K_e$：
$e = K_e \omega = K_e \frac{d\theta}{dt} \tag{5-49}$
直流电机在无负载运行时，输入电压等于反电动势，与转动速度成正比。可以认为$K_t$和$K_e$在电学上是同一个量，即$K_e=K_t$。
在电枢等速旋转时，直流电机产生的驱动转矩 $T_e$ 必须要与传递到负载侧的电磁转矩 T 和空载损耗之和想平衡。空载损耗是指电机旋转时需考虑的惯性（转动惯量 J ）和粘滞摩擦（旋转运动对应粘滞摩擦系数 $B_m$）这些因素。
因此，直流电机产生的点此转矩 $T_e$ 与将要传递给负载方的转矩 T 的平衡关系为：
$T_e = T + (J \ddot \theta + B_m \dot \theta) \tag{5-50}$
式中，θ 表示旋转角度；$\dot \theta$表示旋转角速度 [rad/s]；$\ddot \theta$表示旋转角加速度(rad/$s^2$)；J 为转动惯量； $B_m$为旋转运动对应的粘滞摩擦系数。
忽略电机内电刷压降，由基尔霍夫电压定律（在任何一个闭合回路中，各元件上的电压降的代数和等于电动势的代数和，即从一点出发绕回路一周回到该点时，各段电压的代数和恒等于零）可得：
$v = R_a i_a + L_a \frac{di_a}{dt} + K_e \frac{d \theta}{dt} \tag{5-51}$
其中，v 为输入电压，$R_a$为转子电阻，$i_a$为转子电流，$L_a$是转子电感。
将式（5-51）进行拉普拉斯变换得到：
$v(s) = R_a i_a(s) + L_a s i_a(s) + K_e s \theta(s) \tag{5-52}$
整理后得到直流电机的模型为：
$i_a(s) = \frac{1}{L_a s+ R_a}v(s) - \frac{K_es}{L_a s + R_a} \theta(s) \tag{5-53}$
（2） 减速器的数学模型
假设减速器链接的齿轮 1 和齿轮 2 的齿数分别为 $n_1$ 和 $n_2$，则变速比 N 为：
$N = n_2 / n_1 \tag{5-54}$
当直流电机的旋转角度为 $\theta _1$，单杆的旋转角度为 $\theta _2$时，
$\theta_1 = N × \theta _2 \tag{5-55}$
考虑齿轮传动中滑动摩擦等因素，在直流电机侧的输出扭矩，即公式（5-50）中共的 T 传递到负载侧时还损失一部分能量。摩擦损失与电机侧输出扭矩 T 成比例，摩擦损失比例系数为 c，则传到单杆的转轴一侧的单杆扭矩 $\tau_2$为
$\tau_2 = N(T - cT) = N ×(1-c)×T = N×E×T \tag{5-56}$
式中 E = 1 - c 被称为传导系数。为了突出对比，将电机侧输出扭矩 T 表示为 $\tau_1$，则单杆侧扭矩$\tau_2$为：
$\tau_2 = N(\tau_1 - c \tau_1) = N×(1-c)×\tau_1 = N×E×\tau_1 \tag{5-57}$