原题
在古埃及，人们使用单位分数的和（如
，a是自然数）表示一切分数，这种表现方法称为埃及数。例如：
，但不允许加数中有相同的，例如
。对于一个分数
，表示方法有很多种，但是哪种最好呢？首先，加数少的比加数多的好；其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。如：
符合条件的最优解是最后一个。
编程求出分数
（0<a<b）的最优表示
。
输入
第一行：一个自然数 a
第二行：一个自然数 b
输出
从小到大输出找到的单位分数的分母，每行一个整数
输入样例
19
45输出样例
5
6
18思路
看到题目的第一反应是可以使用贪心算法，以找寻局部最优解为目标，每次都用原始分数减去最大的埃及数，比如19/45减去1/3，得到4/45，然后比4/45小的最大埃及数是1/12，于是4/45再减去1/12，这样每次都减去最大的埃及数，直到最后剩下某个1/a，把这些被减数合在一起，就是题目的解。
这样固然一定可以找出解（虽然我做不了数学证明，但要相信法老的智慧:D），但得到的却未必是最优解。按照题目的要求，最优解有两个条件：在所有可能的解中，1）所含的加数的数量最少，2）最后一个加数（最小的分数）的分母最小。比如，虽然通过贪心算法可以得到19/45的解是1/3+1/12+1/180，但是在所有可能的解中，最优的解却是1/5+1/6+1/18。两者长度相同，但最优解的最后一个分数的分母比较小（18小于180），也就是分数更大。而这种解是使用贪心算法无法得出来的。
要得到最优解，直觉上就必须求出所有可能的解，按照被减数的分母递增，一个个试下去。但这种算法的计算量十分恐怖，而且最重要的是，要试到何时才是终点呢？理论上每个被减数都可以得到一个解，但往往这样的分数的分母是一个天文数字。于是，再仔细思考一下，不难想到，一旦我们找到一个解，我们就可以放弃那些明显比我们找到的解还要差的解（长度更长，或最后一个分数更小），从而进行剪枝，不再继续向下查找。按照算法的术语来说，这叫限制深度的深度优先搜索，也就是迭代加深。
举个例子（图中的蓝色实线代表首先通过贪心算法找到的解，虚线代表可能的搜索路径，绿色的实现代表最优解），为了求出19/45的埃及数表现形式，我们首先使用贪心算法得到一个解，先减去1/3，再用余数减去1/12（所能减去的最大的分数），一直到得到1/180，满足条件，就停止往下搜索。这就是我们通过贪心算法得到的第一个解。而这个解包含有三个加数，1/3、1/12和1/180，所以我们可以说这个解的深度是3（从上到下第三层就得到解），所以当我们从第三层返回到第二层，试着用下一个加数（1/15）进行计算的时候，我们只要再向下试一个数，如果找不到就返回，而不需要再去第四层、第五层甚至更深去搜索了。同样的道理，如果从第二层返回第一层的时候，在第一层分别去试1/4和1/5，如果能在第二层得到解，则马上把深度更新为2，后面的计算都不用再向第三层计算了。
基本思路有了，但还有个重要的问题待解决。我们怎样决定在每一层搜索的广度？比如当得到第三层的一个解后，返回到第二层，继续去试其他的分数，一直试到
，但这个
应该是多少呢？如果是在得到过解的第三层，我们可以令
小于等于之前解的最后一个分母的大小。比如上面的例子里，当得到第一个解1/3+1/12+1/180后，我们在第三层的用来尝试的分数的分母必然不能大于180。但是如果返回到第二层，第二层的
又该是多少呢？如果返回第一层，第一层的
呢？
这里就不得不手动计算一下。
如果已知解的最大深度，用maxdepth表示，上一层的深度用depth表示，而当前分数的余数用a/b表示，则必有以下等式成立：
其中
x+1以及x+2并不表示比x只大了1或2，在这里只是表示分数的分母依次是增大的。
于是，不难看出，
，所以上面的等式可以转化为下面这个不等式：
使用小于等于而不是小于号的原因是，如果maxdepth-depth等于1，那么 a/b=1/x 即是解，所以不能排除相等的可能性。
因为a、b、x都是大于0的自然数，两边乘以bx再除以a，可得
因此，不论在哪一层，我们可以依次递增分数的分母，但是只要试到这个等式不成立为止即可（while循环）。
还有一点要注意的是，虽然题目告诉我们每下一层的分数的分母都是比当前这层的分母大，但我们却不应该、也不需要简单的把分母递增1去计算，比如在计算19/45的时候，减去1/3后，比余数小的最大的分数是1/12，我们就没有必要从1/4、1/5、1/6这样递增去计算了，这样也可以省去大量无意义的计算。
代码实现
为了记录第一个解的深度，用来限制后面搜索的深度和广度，我们需要定义一个全局变量，而且这个变量还要随着找到的解来更新。最省事的办法就是使用global关键字声明一个全局变量 maxd，这样就不用在函数体中定义了。同样地，我们也需要一个全局列表，用来保存找到的所有符合条件的解，所以也可以把列表 allres 声明成全局变量（并不一定需要这样做，因为python的列表保存的是存放列表中数据的内存地址，所以可以直接在函数体内调用append方法）。
另外，在找到第一个解之前，这个表示深度的变量应该是无限大（根据计算机的计算能力，在处理一些分数的时候使用无限大可能会导致计算时间无限增大，这时使用限定的深度会更好），所以我们可以导入python自带的math模块，使用其中的math.inf常量，得到一个浮点数，用来表示无限大（infinity).
而在每一层开始的时候，我们应该从比分数a/b小的最大分数的分母开始计算，所以也可以使用 math.ceil(b/a) 向上取整，来得到这个起始数 start
当然，最基本的，因为题目是关于分数的计算，所以在整个过程中，我们都必须使用分数形式。我们当然可以引入python的fractions模块来计算分数，但是，我们需要用的分数计算只有减法而已，而得到的结果也只有两种可能，要么为0（找到解），要么依然是一个分数，用来向下继续计算。所以我们可以直接定义一个分数相减的函数 substract(a, b) ，用来返回分数a减去分数b的结果。
全部代码如下：
def substract(a, b):
res = a[0]*b[1]-b[0]*a[1]
return (res, a[1]*b[1]) if res else 0
def frac(n, res, x):
global maxd, allres
while x <= n[1]*(maxd-len(res))/n[0]:
m = substract(n, (1,x))
if m == 0:
res.append(x)
allres.append(res)
maxd = min(maxd, len(res))
return
else:
k = max(x+1, math.ceil(m[1]/m[0]))
frac(m, res+[x], k)
x += 1
import math
a = int(input())
b = int(input())
n = (a, b)
allres = []
maxd = math.inf
start = math.ceil(b/a)
frac(n, list(), start)
allres = sorted(allres, key=lambda x:x[-1])
allres = sorted(allres, key=len)
for i in allres[0]:
print(i)因为题目要求最后只要输出最优解，所以我们在得到所有符合条件的解之后，可以按照给定的条件进行排序，再列出第一个元素的内容即可。
思考
这种解法是把所有符合条件的解先找到，然后再通过排序，打印出最优解。但是我们还可以在递归的函数里完成这种比较，然后只返回一个最优解。大家想想可以如何实现呢？
