计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率

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jowvid 2024-06-05 08:39:25

文章标签 蓝桥杯 c++ 职场和发展随机数 #include 文章分类 Python 后端开发

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计算圆周率π可以通过随机数、泰勒展开、割圆术、投针术等方法，本节主要介绍前两项的c++实现。

方法一：随机数算法

即，蒙特卡罗法，是先在平面区域均匀的（随机的）撒点，并按照点分布在不同区域的数量，来代表不同区域面积（这样就可以模拟计算圆形区域的面积，从而可求π），用整数的比例关系来代替面积的比例关系。

如下图所示，

计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率_职场和发展

标题半径为1的圆，与边长为2的正方形

其中，半径r=1的圆的面积为： S圆

S圆 =π * r * r = π * 1 * 1 = π

圆的外接正方形（边长为2）的面积为：S正

S正 = 2 * 2 = 4

那么，我们向正方形内部随机撒点，假设这些点落入正方形内的数量为N（总的点数），落入圆内的点数为n。

我们有下面的比例关系：

计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率_随机数_02

图形对应的数学比例关系

随着撒点数量的增大，点的数量会越来越能够逼近其所在区域的面积。

上面的等式就变成了，n是已知的，N也是已知的，S正也是已知的，求S圆的值。

此时，

计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率_c++_03

只需要统计n和N即可逼近π

实现思路：

上图正方形内部的点的坐标，假设为（x, y）。

那么，x和y的值均为0~1之间的值。

我们不断的创造出0~1之间的小数，来模拟一个点在正方形中的坐标x的值

我们不断的创造出0~1之间的小数，来模拟一个点在正方形中的坐标y的值

假设我们一共撒点N个，通过x,y值，我们就可以计算出x,y这个点在圆的内部还是在圆的外部。

点（x,y）在圆的内部，就是：

计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率_c++_04

n的统计依据

所以，我们就可以计算出π的近似值了。

代码如下：

#include<iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
int main()
{
    double x, y, r, pi;
    int n = 0, N = 1e7;
    srand(time(NULL));
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        x = rand() / double(RAND_MAX);//取值为0-1之间的随机数
        y = rand() / double(RAND_MAX);
        r = sqrt(x * x + y * y);
        if (r < 1)
        {
            //(1) your code
        
        }
    }
    pi = n * 4.0 / N;
    cout <<pi << endl;
}

随着N取值增大，通过程序模拟，得出如下数据

计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率_蓝桥杯_05

因为是随机数，所以同一个N值也可能输出不同的结果，精确度并不是随着N增大一直正相关。

方法二：泰勒展开

计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率_c++_06

计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率_c++_07

S0 = 1
S1 = S0×（1 /（2×1+1））= 1/3
S2 = S1×（2 /（2×2+1））= 1/3 × 2/5 = 2/15
S3 = S2×（3 / (2×3+1））= 2/15 × 3/7 = 6/105

代码如下：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main()
{
    cout.precision(20);//小数部分20位有效数字

    int n = 100;//迭代次数
    double S = 1;// S0=1
    double Sum = S;
    
    for (int m = 1; m < n; m++)
    {
        //下面的代码中int和double在一起运算，运算结果类型为double类型
        S = m / (2 * m + 1.0) * S;
        //(2) your code
        
    }
    
    double pi =  2 * Sum;
    cout << "pi=" << pi << endl;

    return 0;
}

输出如下：

计算圆周率泰勒级数关系式python代码用泰勒公式求圆周率_c++_08