层次分析法几何平均值计算权重的公式 层次分析法怎么求权重

层次分析法

一、简介

层次分析法（AHP）主要用于解决评价类问题，是一种实用的多方案或多目标，定性与定量相结合的决策分析方法。
是将决策问题按总目标、评价准则、备选方案的顺序分解为不同的层次结构，然后求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后得出各备选方案对总目标的最终权重，最终权重最大者即为最优方案。
填写这个表格，只需将指标权重与相应方案的准则层对应相乘即可

	指标权重	方案1	方案2	方案3	…
准则1
准则2
准则3
…

二、步骤

1.建立结构模型,包括目标层、准则层、方案层。
2.构造判断矩阵
由于一次性考虑多个准则之间的关系，往往会考虑不周，所以可以两两进行比较最终根据两两比较的结果来推算出权重

a_ij 代表i对于j的重要程度，与a_ji成倒数关系

这个矩阵就是判断矩阵

方案层对于准则层各准则的判断矩阵如下

准则	方案1	方案2	方案3	…
方案1	1
方案2		1
方案3			1
…		aij		1

• 一致矩阵
  若矩阵中每个元素a_ij >0且满足a_ij × a_ji= 1 ，则称该矩阵为正互反矩阵。
  在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
  若正互反矩阵满足a_ij× a_jk = a_ik，则我们称其为一致矩阵。

注意:在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

3.一致性检验

定义一致性指标,$CI=\frac {\lambda~max~ -n}{n-1}$
CI=0,有完全的一致性；CI接近于0，有满意的一致性；CI越大，不一致越严重。为了衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI表。

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

一致性比率$CR=\frac {CR}{RI}$：

当CR<0.1时，则认为通过一致性检验，否则要对判断矩阵加以调整
4.按列归一化计算权重
举个例子

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	1	2	5
北戴河	1/2	1	2
桂林	1/5	1/2	1

三种方法:
(1）算术平均法
仅使用第一列的数据，计算出来的权重:
苏杭=1/ (1+0.5+0.2)= 0.5882
北戴河=0.5/ (1+0.5+0.2)= 0.2941
桂林=0.2/ (1+0.5+0.2) =0.1177
使用第二列的数据，计算出来的权重:
苏杭=2/ (2+1+0.5) = 0.5714
北戴河=1/ (2+1+0.5) = 0.2857
桂林=0.5/ (2+1+0.5)= 0.1429
使用第三列的数据，计算出来的权重:
苏杭=5/ (5+2+1) =0.625
北戴河=2/ (5+2+1)= 0.25
桂林=1/ (5+2+1) =0.125

得到

景色	苏杭	北戴河	桂林
苏杭	0.5882	0.5714	0.625
北戴河	0.2941	0.2857	0.25
桂林	0.1177	0.1429	0.125

	未归一化的权重
苏杭	0.5882+0.5714+0.625=1.7846
北戴河	0.2941+0.2857+0.25=0.8298
桂林	0.1177+0.1429+0.125=0.3856

	权重
苏杭	1.7846/3=0.5949
北戴河	0.8298/3=0.2766
桂林	0.3856/3=0.1285

(2）几何平均法

1:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
2:将新的向量的每个分量开n次方
3:对该列向量进行归一化即可得到权重向量

(3）特征值法
1:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
2:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

将得出结果填入表格

（一致矩阵只需要算一列，因为成比例判断矩阵，不一致，每列都要算）

再根据这个矩阵计算指标权重，也是以上三种方法

最后得到

	指标权重	苏杭	北戴河	桂林
景色	0.2636	0.5949	0.2766	0.1285
花费	0.4758
居住	0.0538
饮食	0.0981
交通	0.1087

其余以此类推

注：
一般论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性,最好采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

计算各方案得分，可使用excel减少工作量

有些缺点
1.不能为决策提供新方案，只能从备选方案中选择较优者。
2. 定量数据较少，定性成分多，不易令人信服
3. 指标过多时，数据统计量大，且权重难以确定

三、附上代码

%matlab
disp('请输入准则层判断矩阵A(n阶)');
A=input('A=');
[n,n]=size(A);
[V,D]=eig(A);%求得特征向量和特征值
%求出最大特征值和它所对应的特征向量
tempNum=D(1,1);
pos=1;
for h=1:n
if D(h,h)>tempNum
tempNum=D(h,h);
pos=h;
end
end 
w=abs(V(:,pos));
w=w/sum(w);
t=D(pos,pos);
disp('准则层特征向量w=');disp(w);disp('准则层最大特征根t=');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 1.60 1.61 1.615 1.62 1.63];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败，请重新进行评分!');
end