超声波束合成深度学习

医学超声成像—合成孔径法（Synthetic Aperture Methods）[3]

• 4. Real Aperture Beamforming（实时孔径波束形成）

• 4.1 Delay and Sum Beamformer（延时、求和波束形成）

• 4.1.1基本原理
• 4.1.2 聚焦深度
• 4.1.3 转向（steering）与聚焦延迟
• 4.1.4 双向延迟与求和（Two way delay and sum）

• 4.2 波束模式（Beam pattern）

Reference：Yao H . Synthetic Aperture Methods forMedical UltrasonicImaging[J]. 1997.

4. Real Aperture Beamforming（实时孔径波束形成）

• beamforming：将传感器阵列的信号获取能力调整到一个特定方向
• Beam control method（波束控制方法）：dynamic aperture（动态孔径）、dynamic focusing（动态调焦）、apodization（变迹）
• delay beamformer、sum beamformer

4.1 Delay and Sum Beamformer（延时、求和波束形成）

4.1.1基本原理

电子波束（Electronic beamforming）形成可以通过传感器阵列实现。

考虑一个线性阵列，由N个传感器单元，相邻传感器单元间隔为d，沿x轴分布。第n个单元的位置满足：

假定被观测的波长为$f(\vec{x},t)$，$\vec{x}=(x,y,z)$表示观测点坐标，则第n个单元观测到的波形为KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\vex' at position 10: y_n(t)=f(\̲v̲e̲x̲{x}_n,t)。delay and sum beamformer包含对单元输出的延时$\Delta_n$，然后把得到的信号相加。delay and sum beamformer的输出为：

其中，$w_n$表示权重，可以指shading、taper、apodization（变迹），在0-1之间。假设波长为单频平面波，时间频率为$\omega^0$，波数为$\vec{k}^0$（波数即波长的倒数乘以$2\pi$,即$k=2\pi/\lambda$）：

使用了1D的阵列（如图4.1），可以对公式进行简化，$\vec{x}_n=x_n$，$k_x^0=k^0sin\theta$，其中$\vec{k}^0=(k_x,0,k_z)$，$k^0=|\vec{k}^0|$，$\theta$为传播方向，得到：

由此得到：

当延迟取值为：

此时，延迟被设置为观察波平面的传播方向，beamformer的输出达到最大值，即$e^{jw^0t}\sum_{n=0}^{N-1}\omega_n$。我们可以调整（steer）阵列波束的观测到一系列假定的传播方向，设置$\Delta_n=-\frac{1}{c}x_n \text{sin}\theta^0$，此时平面波波束形成后的观察结果为：

delay and sum beamformer对单频波的响应结果通常被称为阵列模式（array pattern）。在这个例子中，阵列模式为

阵列模式决定了阵列的方向模式（directivity pattern）或者波束模式（beam pattern）。波束模式的公式与上式相同，波束的转向角度为固定值$\theta^0$，角度变量为$\theta$。

4.1.2 聚焦深度

聚焦深度$L_F(YdB)$指在焦点周围区域，波束最大可能幅值小于$Y$ dB的范围。在这个范围内，几何聚焦的变化对波束的直径影响不大。令$Y$为3 dB，则聚焦深度为：

其中，R表示焦距，D表示孔径的直径。

令FN为焦距和孔径直径之间的比值，即$FN=R/D$，则上式可以写作：

FN又被称作F数（F-number）。

4.1.3 转向（steering）与聚焦延迟

线性相位阵列（相控阵）可以通过对发射信号和接收信号添加合适的延迟来实现聚焦和转向。

考虑一个相位阵列，有N个单元，相邻单元间隔为$d=\lambda/2$，假定聚焦点和转向值为$(r,\theta)$，其中$\theta$表示转向角度，r表示聚焦范围。将坐标原点设置在相控阵的中心。

第m个单元的单向延迟为：

其中，$\tau_m'$表示单元m与点(r,\theta)之间的距离，$0\leq m\leq N-1$

根据余弦定理，求得距离$r_m'$为：

其中$x_m$表示第m个单元的位置。代入得到m单元的单向延时为：

其中，$\tau_m^s$表示转向延时（steering delay），$\tau_m^f$表示聚焦延时

聚焦的主要目的是提高横向分辨率。注意到聚焦延迟$\tau^f$与焦点范围r有关，因此，聚焦可以是固定的，动态的或复合的。

• 固定聚焦将焦点固定在特定值R，得到：
  
  一种典型的设置方法是将焦点设置在中线，即$\theta=0$，这样得到的波束宽度当R固定时是最小的。
• 动态（dynamic）聚焦：聚焦延迟时关于r的函数。
• 复合（composite）聚焦

4.1.4 双向延迟与求和（Two way delay and sum）

短脉冲由m单元激发，n单元接收，则round-trip delay为：

其中$(m,n)$视作一个激发-接收组合，$0\leq m,n\leq N-1$，$\tau_m, \tau_n$可由上一小节的推导式得到。

对于N个单元的相控阵，A模式得到的信号$a_{PA}(t)$为：

其中，$y_{m,n}(t)$是回波信号，第一个求和号表示发射的波束形成（transmit beamforming）和接收的波束形成（receive beamforming）对于成像平面上的每个点，A-模式信号表达为：

若波场为单频平面波，瞬时频率为$\omega^0$，则双向波束形成按照均匀加权得到（且设置延迟转向到波面方向）：

又因为$\tau_m^s=\frac{s}{c}=\frac{x_m\text{sin}\theta}{c}$，代入得到：

是关于$\theta$的sinc-squared函数

在-26dB的时候有第一个旁瓣。

4.2 波束模式（Beam pattern）