拉普拉斯估计法Python 拉普拉斯的计算

基本问题

普遍的应用是对一个三维物体推动或拉动某一处，求出三维物体最后会变形成什么样。

如上图所示：以一个表面为例，S是一个完整的三角网格。现在固定住最外圈的F部分。顶部黄色H是可以拖动的部分，现在将H拖动到某个地方，问整个网格形变最终结果。

拉普拉斯算子

$对于网格中的每个顶v_i$

都有一个拉普拉斯算子

$δ_i=L(v_i)=(δ_i^x,δ_i^y,δ_i^z) = v_i- \displaystyle \sum_{j\in N(i)}w_{ij}v_j$

$N(i)表示v_i的1领域，由 w_{ij} 组成的矩阵L 称为拉普拉斯矩阵$

$L=\begin{bmatrix}w_{1,1}&w_{1,2}&...&w_{0,n}\\w_{2,1}&w_{2,2}&...&w_{2,n}\\w_{3,1}&w_{3,2}&...&w_{3,n}\\...&...&...&...\\w_{n,1}&w_{n,2}&...&w_{n,n}\\\end{bmatrix}$

$w_{ij} 有3种取值方式，w_{ij} =1，w_{ij} =\frac{1}{d_i}, w_{ij} =cotα_{ij}+cotβ_{ij}, d_{i}代表v_i的度$

拉普拉斯算子蕴含着曲面的局部特征信息，网格曲面的拉普拉斯坐标其在网格变形、网格平滑、网格去噪等方面都有着重要的应用。

能量方程构建

顶点有n个
$v_1, v_2, ..., v_n$
其中前m个顶点属于S,H区域。
$δ_i=L(v_i)$

移动以后的点为
$v$
其中前m个顶点属于S,H区域。

$δ$

按照拉普拉斯算子定义，我们希望变形后拉普拉斯算子尽量不变。同时s,h区域的点要尽量接近给定的点。

要使下列式子尽量满足

$δ$
$v$

能量方程如下

$令∆$

$arc min \sum^{n}_{i=1}||∆$

我们如果可以解出上述式子使得能量最小，那么就确定了最终的点的位置了。

对式子进行拆分，可以发现是一个最小二乘问题。

可以对x,y,z进行拆分得到下式

$E=\sum^{n}_{i=1}||∆$

$=\sum^{n}_{i=1}(∆$

上面x,y,z是独立的可以分开求解

$可让向量T=\begin {bmatrix} ∆$

向量T一共有(n+m)行
$由于后面是已知量，可以进一步拆分成 Ax-B形式$

$T=\begin {bmatrix} L \\ H \end {bmatrix}*\begin {bmatrix} v$

$L是拉普拉斯矩阵，H=\begin {bmatrix} 1&0&...&0\\0&1&...&0\\...&...&...&...\\0&0&0&1 \end {bmatrix}$

$则E=||T||^2, 就是求解E的最小值，问题就是转化成求解 min ||Ax-B||^2, 这是一最小二乘问题$

最小二乘问题求解

设有一个f(x,y,z)函数，求最小值，最简单的方法就是求驻点。
求驻点直接求偏导，并令其等于0即可。
$\frac{∂f}{∂x}=0,\frac{∂f}{∂y}=0, \frac{∂f}{∂z}=0$

$那么对于||Ax-B||^2 如何求偏导呢$

$||Ax-B||^2=(Ax-B)^T(Ax-B)$

$(x^TA^T-B^T)(Ax-B)=x^TA^TAx-x^TA^TB-B^TAx+B^TB$

$\frac {∂||Ax-B||^2}{∂x} = \frac {∂x^TA^TAx}{∂x}- \frac {∂x^TA^TB}{∂x}- \frac {∂B^TAx}{∂x}+\frac {∂B^TB}{∂x}$

只要对上述4项分别求导即可。

$对于A = \begin {bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end {bmatrix}, \overrightarrow{x}=\begin {bmatrix} x_{1}\\x_2\\...\\x_n \end {bmatrix}$

$A\cdot\overrightarrow{x}=\begin {bmatrix} a_{11} \cdot x_1+a_{12}\cdot x_2+...a_{1n}\cdot x_n\\a_{21} \cdot x_1+a_{22}\cdot x_2+...a_{2n}\cdot x_n\\ a_{m1} \cdot x_1+a_{m2}\cdot x_2+...a_{mn}\cdot x_n\\\end {bmatrix}$

$求偏导 \frac {∂A\cdot \overrightarrow{x}}{∂x} =\begin {bmatrix} a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn} \end {bmatrix}=A^T$

同理其他求导如下

$\frac {∂A \overrightarrow{x}}{∂x}=A^T, \frac {∂A \overrightarrow{x}}{∂x^T}=A,\frac {∂(\overrightarrow{x}A)}{∂x}=A$

$\frac {∂(\overrightarrow{x}^T\cdot A \cdot \overrightarrow{x})}{∂x}=(A^T+A)x$

$\frac {∂||Ax-B||^2}{∂x} = \frac {∂x^TA^TAx}{∂x}- \frac {∂x^TA^TB}{∂x}- \frac {∂B^TAx}{∂x}+\frac {∂B^TB}{∂x}$

$=(A^TA+A^TA)x-A^TB-A^TB+0$

$=2A^TAx-2A^TB$

令导数为0解得

$\Rightarrow x=(A^TA)^{-1}A^TB$

应用

1. 物体变形，物体挤压变形，旋转变形
2. 模型配准问题，游戏皮肤覆盖，衣服穿着，材料包裹
3. 动画制作