概念:
模拟频率f:每秒经历多少个周期,单位Hz,即1/s;
模拟角频率Ω:每秒经历多少弧度,单位rad/s;
数字频率w:每个采样点间隔之间的弧度,单位rad。
数字频率与模拟频率相互转化:w=2*pi*f/fs
解释
我们通常所说的频率,在没有特别指明的情况下,指的是模拟频率,其单位为赫兹(Hz),或者为1/秒(1/s),数学符号用f来表示。这是因为现实世界中的信号大多为模拟信号,频率是其重要的物理特性。以赫兹表示的模拟频率表示的是每秒时间内信号变化的周期数。如果用单位圆表示的话,如图1所示,旋转一圈表示信号变化一个周期,则模拟频率则指的是每秒时间内信号旋转的圈数。
图1 数字频率与模拟频率
模拟频率中还有一个概念是模拟角频率,数学符号常用Ω来表示,其单位为弧度/秒(rad/s)。从单位圆的角度看,模拟频率是每秒时间内信号旋转的圈数,每一圈的角度变化数为2π。很显然,旋转f圈对应着2π∗f的弧度。即:
Ω=2π∗f(rad/s)(1)
数字信号大多是从模拟信号采样而得,采样频率通常用fs表示。数字频率更准确的叫法应该是归一化数字角频率,其单位为弧度(rad),数学符号常用ω表示。即:
ω=2pi*f/fs(rad) (2)
其物理意义是相邻两个采样点之间所变化的弧度数,如图1所示。
有了公式(1)和(2),我们就可以在模拟频率与数字频率之间随意切换。假定有一个正弦信号x[n],其频率f=100Hz,幅度为A,初始相位为0,则这个信号用公式可以表示为:
x(t) =A*sin(2*pi*100*t)
用采样频率fs=500Hz对其进行采样,得到的数字信号x[n]为:
x[n] =A*sin(2*pi*100*n/fs)= A*sin(0.4*pi*n)
很明显,这个数字信号的频率为0.4pi。
由上述讨论可知,对应两个数字频率完全相同的信号,其模拟频率未必相同,因为这里还要考虑采样频率。这种归一化为处理带来了方便,但也给理解带来了困惑。在数字信号中,虽然经常不显式地出现采样频率,但它却是架起模拟信号与数字信号的桥梁,对信号处理的过程有举足轻重的影响。
表达式:
模拟频率f: cos(2pi*f*t)
模拟角频率Ω: cos(Ω*t);
数字频率w: cos(w*n)=cos(Ω*n*T) [T为采样间隔时间]。
关系:
Ω=2pi*f;
w =Ω*T。
推导:
cos(2pi*f*t) = cos(Ω*t) = cos(Ω*n*T) = cos(Ω*T*n) = cos(w*n)。
举例:
x(n)=sin(n*4*PI/7)的数字频率=4*PI/7
关键点:
t = n*T:
从时域角度理解:
模拟信号周期:经过2*pi需多长时间,单位s;
ex:f = 10Hz,则周期0.1s;
数字信号周期:经过2*pi需多少个点,单位1;
ex:f = 10Hz,fs = 20Hz,则周期2;
基准关系是2*pi:
从频域角度理解:站在这一角度,重新理解上述变量
补充:
在模拟信号中 f是模拟频率;Ω是模拟角频率,比如sin(Ωt)其中Ω=2*pi*f 当对模拟信号进行抽样后t=n*Ts,其中Ts为抽样周期,Ts=1/fs,fs为抽样频率。 把t=n*Ts回带入式子中,这时sin(Ωt)就变成了sin(Ω*Ts*n),此时的角频率称为数字角频率w,w=Ω*Ts,即sin(Ω*Ts*n)=sin(wn)。w=Ω/fs=2*pi*f/fs。此时w也称为数字频率,因为它是一个相对频率(仅仅是一种称呼),这时的w就不能简单的用w=2*pi*f来计算了,因为此时f是谁?不过当把f/fs当做一个新的f时也是可以等效为w=2*pi*f的。