一、CART决策树模型概述（Classification And Regression Trees）
决策树是使用类似于一棵树的结构来表示类的划分，树的构建可以看成是变量（属性）选择的过程，内部节点表示树选择那几个变量（属性）作为划分，每棵树的叶节点表示为一个类的标号，树的最顶层为根节点。
决策树是通过一系列规则对数据进行分类的过程。它提供一种在什么条件下会得到什么值的类似规则的方法。决策树算法属于有指导的学习，即原数据必须包含预测变量和目标变量。决策树分为分类决策树（目标变量为分类型数值）和回归决策树（目标变量为连续型变量）。分类决策树叶节点所含样本中，其输出变量的众数就是分类结果；回归树的叶节点所含样本中，其输出变量的平均值就是预测结果。
决策树是一种倒立的树结构，它由内部节点、叶子节点和边组成。其中最上面的一个节点叫根节点。 构造一棵决策树需要一个训练集，一些例子组成，每个例子用一些属性（或特征）和一个类别标记来描述。构造决策树的目的是找出属性和类别间的关系，一旦这种关系找出，就能用它来预测将来未知类别的记录的类别。这种具有预测功能的系统叫决策树分类器。
决策树有非常良好的优点：
1）决策树的够造不需要任何领域知识，就是简单的IF...THEN...思想 ；
2）决策树能够很好的处理高维数据，并且能够筛选出重要的变量；
3）由决策树产生的结果是易于理解和掌握的；
4）决策树在运算过程中也是非常迅速的；
5）一般而言，决策树还具有比较理想的预测准确率。
CART决策树又称分类回归树，当数据集的因变量为连续性数值时，该树算法就是一个回归树，可以用叶节点观察的均值作为预测值；当数据集的因变量为离散型数值时，该树算法就是一个分类树，可以很好的解决分类问题。但需要注意的是，该算法是一个二叉树，即每一个非叶节点只能引伸出两个分支，所以当某个非叶节点是多水平(2个以上)的离散变量时，该变量就有可能被多次使用。
决策树算法中包含最核心的两个问题，即特征选择和剪枝：
关于特征选择目前比较流行的方法是信息增益、增益率、基尼系数和卡方检验，下文就先介绍基于基尼系数的特征选择，因为本文所描述的CART决策树就是基于基尼系数选择特征的；
关于剪枝问题，主要分预剪枝和后剪枝，预剪枝是在树还没有生长之前就限定了树的层数、叶节点观测数量等，而后剪枝是在树得到充分生长后，基于损失矩阵或复杂度方法实施剪枝，下文将采用后剪枝的方法对树进行修正。
二、决策树的核心问题
决策树核心问题有二：一是利用Training Data完成决策树的生成过程；二是利用Testing Data完成对决策树的精简过程。即前面我们提到的，生成的推理规则往往过多，精简是必需的。
1）决策树的生长
决策树生长过程的本质是对Training Data反复分组（分枝）的过程，当数据分组（分枝）不再有意义——注意，什么叫分组不再有意义——时，决策树生成过程停止。因此，决策树生长的核心算法是确定数据分析的标准，即分枝标准。
何为有意义呢？注意，当决策树分枝后结果差异不再显著下降，则继续分组没有意义。也就是说，我们分组的目的，是为了让输出变量在差异上尽量小，到达叶节点时，不同叶节点上的输出变量为相同类别，或达到用户指定的决策树停止生成的标准。
这样，分枝准则涉及到两方面问题：1、如果从众多输入变量中选择最佳分组变量；2、如果从分组变量的众多取值中找到最佳分割点。不同的决策树算法，如C4.5、C5.0、Chaid、Quest、Cart采用了不同策略。
2）决策树的修剪
完整的决策树并不是一棵分类预测新数据对象的最佳树。其原因是完整的决策树对Training Data描述过于“精确”。我们知道，随着决策树的生长，决策树分枝时所处理的样本数量在不断减少，决策树对数据总体珠代表程度在不断下降。在对根节点进行分枝时，处理的是全部样本，再往下分枝，则是处理的不同分组下的分组下的样本。可见随着决策树的生长和样本数量的不断减少，越深层处的节点所体现的数据特征就越个性化，可能出现如上推理规则：“年收入大于50000元且年龄大于50岁且姓名叫张三的人购买了此产品”。这种过度学习从而精确反映Training Data特征，失去一般代表性而无法应用于新数据分类预测的现象，叫过度拟合（Overfitting）或过度学习。那我们应该怎么办呢？修剪！
常用的修剪技术有预修剪（Pre-Pruning）和后修剪（Post-Pruning）。
Pre-Pruning可以事先指定决策树的最大深度，或最小样本量，以防止决策树过度生长。前提是用户对变量聚会有较为清晰的把握，且要反复尝试调整，否则无法给出一个合理值。注意，决策树生长过深无法预测新数据，生长过浅亦无法预测新数据。
Post-pruning是一个边修剪边检验的过程，即在决策树充分生长的基础上，设定一个允许的最大错误率，然后一边修剪子树，一边计算输出结果的精度或误差。当错误率高于最大值后，立即停止剪枝。
基于Training Data（训练集）的Post-Pruning（剪枝）应该使用Testing Data（测试集）。
决策树中的C4.5、C5.0、CHAID、CART和QUEST都使用了不同 剪枝策略。
案例、使用rpart()回归树分析糖尿病的血液化验指标
install.packages("rpart")
library("rpart")
install.packages("rpart.plot")
library(rpart.plot)
1、主要应用函数：
1）构建回归树的函数：rpart（）
rpart(formula, data, weights, subset,na.action = na.rpart, method,
model = FALSE, x = FALSE, y = TRUE, parms, control, cost, ...)
主要参数说明:
fomula：回归方程形式:例如 y～x1+x2+x3。data：数据:包含前面方程中变量的数据框(dataframe)。
na.action：缺失数据的处理办法:默认办法是删除因变量缺失的观测而保留自变量缺失的观测。
method：根据树末端的数据类型选择相应变量分割方法,本参数有四种取值:连续型“anova”;离散型“class”;计数型(泊松过程)“poisson”;生存分析型“exp”。程序会根据因变量的类型自动选择方法,但一般情况下最好还是指明本参数,以便让程序清楚做哪一种树模型。
parms：用来设置三个参数:先验概率、损失矩阵、分类纯度的度量方法。
cost：损失矩阵，在剪枝的时候，叶子节点的加权误差与父节点的误差进行比较，考虑损失矩阵的时候，从将“减少-误差”调整为“减少-损失”
control：控制每个节点上的最小样本量、交叉验证的次数、复杂性参量:即cp:complexitypamemeter,这个参数意味着对每一步拆分,模型的拟合优度必须提高的程度,等等。rpart.control对树进行一些设置
xval是10折交叉验证
minsplit是最小分支节点数，这里指大于等于20，那么该节点会继续分划下去，否则停止
minbucket：叶子节点最小样本数；maxdepth：树的深度
cp全称为complexity parameter，指某个点的复杂度，对每一步拆分,模型的拟合优度必须提高的程度，用来节省剪枝浪费的不必要的时间。
2）进行剪枝的函数：prune()
prune(tree, cp, ...)
主要参数说明:
tree：一个回归树对象,常是rpart()的结果对象。
cp：复杂性参量,指定剪枝采用的阈值。cp全称为complexity parameter，指某个点的复杂度，对每一步拆分,模型的拟合优度必须提高的程度，用来节省剪枝浪费的不必要的时间。
二、特征选择
CART算法的特征选择就是基于基尼系数得以实现的，其选择的标准就是每个子节点达到最高的纯度，即落在子节点中的所有观察都属于同一个分类。下面简单介绍一下有关基尼系数的计算问题：
假设数据集D中的因变量有m个水平，即数据集可以分成m类群体，则数据集D的基尼系数可以表示为：
由于CART算法是二叉树形式，所以一个多水平(m个水平)的离散变量（自变量）可以把数据集D划分为2^m-2种可能。举个例子也许能够明白：如果年龄段可分为{青年，中年，老年}，则其子集可以是{青年，中年，老年}、{青年，中年}、{青年，老年}、{中年，老年}、{青年}、{中年}、{老年}、{}。其中{青年，中年，老年}和空集{}为无意义的Split，所以6=2^3-2。
对于一个离散变量来说，需要计算每个分区不纯度的加权和，即对于变量A来说，D的基尼系数为：
对于一个连续变量来说，需要将排序后的相邻值的中点作为阈值（分裂点），同样使用上面的公式计算每一个分区不纯度的加权和。
根据特征选择的标准，只有使每个变量的每种分区的基尼系数达到最小，就可以确定该变量下的阈值作为分裂变量和分裂点。如果这部分读的不易理解的话，可参考《数据挖掘：概念与技术》一书，书中有关于计算的案例。
三、剪枝
剪枝是为了防止模型过拟合，而更加适合样本外的预测。一般决策树中的剪枝有两种方式，即预剪枝和后剪枝，而后剪枝是运用最为频繁的方法。后剪枝中又分为损失矩阵剪枝法和复杂度剪枝法，对于损失矩阵剪枝法而言，是为了给错误预测一个惩罚系数，使其在一定程度上减少预测错误的情况；对于复杂度剪枝法而言，就是把树的复杂度看作叶节点的个数和树的错误率（错误分类观察数的比例）的函数。这里讲解的有点抽象，下面我们通过一个简单的例子来说明后剪枝的作用。
四、案例分享
以“知识的掌握程度”数据为例，说说决策树是如何实现数据的分类的
该数据集通过5个维度来衡量知识的掌握程度，它们分别是：
STG：目标科目的学习时长程度；
SCG：对目标科目的重复学习程度；
STR：其他相关科目的学习时长程度；
LPR：其他相关科目的考试成绩；
PEG：目标科目的考试成绩。
知识的掌握程度用UNS表示，它有4个水平，即Very Low、Low、Middle、High。
#读取外部文件
Train <- read.csv(file = file.choose())
Test <- read.csv(file = file.choose())
#加载CART算法所需的扩展包，并构建模型
library(rpart)
fit <- rpart(UNS ~ ., data = Train)
#查看模型输出的规则
fit
上面的输出规则看起来有点眼花缭乱，我们尝试用决策树图来描述产生的具体规则。由于rpart包中有plot函数实现决策树图的绘制，但其显得很难看，我们下面使用rpart.plot包来绘制比较好看的决策树图：
#加载并绘制决策树图
library(rpart.plot)
rpart.plot(fit, branch = 1, branch.type = 1, type = 2, extra = 102,shadow.col='gray', box.col='green',border.col='blue', split.col='red',main="CART决策树")
上图可一目了然的查看具体的输出规则，如根节点有258个观测，其中Middle有88个，当PEG>=0.68时，节点内有143个观测，其中Middle有78个，当PEG>=0.12且PEG<0.34时，节点内有115个观察，其中Low有81个，以此类推还可以得出其他规则。
#将模型用于预测
Pred <- predict(object = fit, newdata = Test[,-6], type = 'class')
#构建混淆矩阵
CM <- table(Test[,6], Pred)
CM
#计算模型的预测准确率
Accuracy <- sum(diag(CM))/sum(CM)
Accuracy
结果显示，模型在测试集中的预测能力超过91%。但模型的预测准确率还有提升的可能吗？下面我们对模型进行剪枝操作，具体分损失矩阵法剪枝和复杂度剪枝：
根据混淆矩阵的显示结果，发现High的预测率达100%(39/39)，Low的预测率达91.3%(42/46)，Middle的预测率达88.2%(30/34)，very_low的预测率达80.8(21/26)。如果希望提升very_low的预测准确率的话就需要将其惩罚值提高，经尝试调整，构建如下损失矩阵：
vec = c(0,1,1,1,1,0,1,1,1,2,0,1,1,3.3,1,0)
cost = matrix(vec, nrow = 4, byrow = TRUE)
cost
fit2 = rpart(UNS ~ ., data = Train, parms = list(loss = cost))
Pred2 = predict(fit2, Test[,-6], type = 'class')
CM2 <- table(Test[,6], Pred2)
CM2
Accuracy2 <- sum(diag(CM2))/sum(CM2)
Accuracy2
准确率提升了1.4%，且在保证High、Low、Middle准确率不变的情况下，提升了very_low的准确率88.5%，原来为80.8%。
下面再采用复杂度方法进行剪枝，先来看看原模型的CP值:
printcp(fit)
复杂度剪枝法满足的条件是，在预测误差(xerror)尽量小的情况下（不一定是最小值，而是允许最小误差的一个标准差(xstd)之内），选择尽量小的cp值。这里选择cp=0.01。
fit3 = prune(fit, cp = 0.01)
Pred3 = predict(fit3, Test[,-6], type = 'class')
CM3 <- table(Test[,6], Pred3)
CM3
Accuracy3 <- sum(diag(CM3))/sum(CM3)
Accuracy3
很显然，模型的准确率并没有得到提升，因为这里满足条件的cp值为0.01，而函数rpart()默认的cp值就是0.01，故模型fit3的结果与fit一致。
确定递归建树的停止条件：否则会使节点过多，导致过拟合。
1. 每个子节点只有一种类型的记录时停止，这样会使得节点过多，导致过拟合。
2. 可行方法：当前节点中的记录数低于一个阈值时，那就停止分割。
过拟合原因：
（1）噪音数据，某些节点用噪音数据作为了分割标准。
（2）缺少代表性的数据，训练数据没有包含所有具有代表性的数据，导致某类数据无法很好匹配。
（3）还就是上面的停止条件设置不好。
