本章主要内容;

  • 基础
  • 使用二阶微分进行图像锐化----拉普拉斯算子
  • 非锐化掩蔽和高提升滤波
  • 使用一阶微分对（非线性）图像锐化----梯度

聊完了空间平滑滤波器，我们拿到了模糊图像的钥匙，从本节开始就走向它的相反的领域，图像的锐化。

锐化处理从宏观上就是让轮廓更显眼，从数字图像的微观上看就是突出灰度的过渡部分。怎么实现呢？我们想，之前写的模糊处理都是求和平均，运用的积分的思想，那么如今锐化是不是可以用微分的思想呢？从逻辑上讲，貌似是可行的。因为微分求导本来就是对有变化的函数，而且变化越大，求导代表的斜率值也会越大。

基础

既然我们从定性的思路想，用求导的方式可以应用在锐化上，接下来的几节，我们都围绕在微分求导上。

首先要厘清一个概念，什么是微分？以及在数字图像领域里面微分对应的非数学表达意愿是什么？

什么是微分？

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。

微分在数字图像处理中的体现

数学意义上的微分其实就是求导的过程，虽然可以用不同的属于定义，但是对于一阶微分的任何定义都必须保证以下条件：

  1. 在恒定灰度区域内的微分值为0
  2. 在灰度台阶或斜坡处微分值非0
  3. 沿着斜坡的微分值为0

类似的，对于二阶微分的定义应该保证如下条件：

  1. 在恒定区域微分值为0
  2. 在灰度台阶或斜坡的起始点微分值非0
  3. 沿着斜坡的微分值为0

用数学公式表达一阶微分（不同于连续函数的无限趋向于0的


，数字领域最小单位为1）：



二阶微分：



我们可以通过一个例子来解释一阶微分和二阶微分在离散的数字领域的应用，验证理解上面提到的三个条件



这个图可以理解成一幅图像的一条line，数字图像的边缘在灰度上常常类似于斜坡过渡，这样就导数的一阶微分会产生一个较粗的边缘（非0值），另一方面，二阶微分产生了由零分开的一个像素宽的双边缘。

因此，我们得出结论：二阶微分在增强细节上要比一阶微分好很多，这是一个适合做图像锐化的理想特征。所以后面例子中我们都以二阶微分。