R语言往后预测数值 r语言预测模型

文章目录

• 预测性建模之线性回归

• 模型假设
• 模型
• 理论结果
• 模型诊断
• 变量选择：

• 案例分析

• 数据描述
• 查看数据基本特征及其分布
• 模型拟合：
• 模型检验：

• 检验残差
• 异常值的检验：
• 自相关性检验：
• 多重共线性的检验：

• 总结
• 参考
• 代码

本次报告的主要目的是结合回归分析的理论来对实际mlr数据进行分析，并且分析得到的结果。

本次报告的主要内容：

1. 介绍原理，介绍回归分析的原理。
2. 案例分析，结合mlr.csv中的数据，使用回归模型来拟合。
3. 总结，总结回归的效果。
4. 参考
5. 代码

预测性建模之线性回归

模型假设

• 随机误差零均值、同方差、正态性，且各个随机误差项之间相互独立。
• 随机误差项项具有正态性。
• 自变量（解释变量）是非随机的，是确定的；且各个自变量之间线性无关（不具有多重共线性）。
• 解释变量与随即项相互独立。

模型

$y = \alpha + x^T \beta + \epsilon$

其中参数$\alpha$是模型的截距项，$\beta$是回归系数变量，$\epsilon$是随机误差项，一般使用预测值和真实值之间的残差来估计。$\beta$的几何意义为：当自变量$x_i$增加或者减少1个单位时，自变量$y$增加或者减少$\beta_i$个单位。

理论结果

• 系数的估计值
• 预测值
• 残差的估计值
• 随机误差项方差的估计

模型诊断

• 标准化残差图（首先画图来看）

• 是否是正态
• 是否同方差（方差是否有变大、变小、变散、变集中的趋势）

• 异常值点：这会影响模型的建立。

• 来源：1 因变量上的异常：标准化残差的绝对值很大（一般是 > 2或3），2 自变量上的异常：杠杆值$H_ii$很大。
• 识别：1 画散点图，直观判断，距离总体比较远的点。2 使用箱线图来判断是否有异常值点，并且处理，3 使用Cook距离来判断异常值，Cook距离比较大的为异常值（一般是 $Cook.disnatance \gt \cfrac{4}{n - k -1}$)，其中Cook距离反应使用完整数据和不包含第i个观测的数据所得到拟合值的差异。
• 处理：1 删除异常值，2 保留异常值：纳入异常值分析或者做数据转换；3 可以尝试对比去除异常值和保留以尝试，同时分析，并且讨论对比其发生的原因。

• 自相关性：

• 影响：1 最小二乘依旧是无偏的，但不是有效的。2 残差的方差被明显地低估，此时做检验（t或者F）是无效的。3 最小二乘估计OLS的方差是有偏的，它低估了真实的方差和标准误差，从而导致t值变大，使得某个系数表面上显著不为零（拒绝了原假设），但事实却相反。4 $R^2$不能反映真实的$R^2$。
• 检验：1 图形法：画出标准化之后的残差图，直观，但是可能不准确，2 使用DW统计量。原假设$H_0$：不存在自相关性，即$\rho=0$.
• 处理：在时间序列中一般使用差分法（一阶差分/二阶差分来消除）；在具有自相关性的时候，尝试使用广义线性最小二乘来估计回归系数。

• 多重共线性：

• 表现：1 自变量之间的相关系数很大，2 回归系数的符号与预期的不相符合，3 预测重要的自变量的系数的标准误差很大。在极端情况下，回归模型的F检验是显著的，但是所有斜率的t值得绝对值都很小。
• 使用方差膨胀因子来检测：
  $VIF_j = \cfrac{1}{1 - R_j^2}$
  其中$R_j^2$是将第$j$个自变量当作因变量，对其他自变量做回归得到的模型$R^2$.
  判别异常的准则：一般而言，方差膨胀因子 > 10($R_j^2>0.9$)，就认为存在多重共线性。
• 使用条件数来识别：
  $\kappa = \sqrt{\cfrac{p个自变量中相关系数矩阵得最大特征值}{p个自变量中相关系数矩阵得最小特征值}}$
  判别准则：当条件数$\kappa$
• 处理：
  （1） 删除部分自变量（VIF或者$\kappa$大于某个常数的变量）。
  （2） 对自变量进行主成分分析，选取主成分作为新的自变量。
  （3） 使用变量选择法，逐步选择部分变量加入方程。

变量选择：

前向选择法，后向剔除法，逐步回归法（前向后向结合）得到模型，再使用AIC和BIC准则来找到最优的模型。所使用AIC和BIC的准则公式如下：

$AIC_p = -2 \ln(\hat L_p) + 2p \\ BIC_p = -2 \ln(\hat L_p) + p\log(N)$
其中：$p$是所考察回归模型的自变量个数，$\hat{L}_p$是考察模型综合训练数据的似然函数的最大值，$N$是样本、观测值的个数。

适用性：一般，BIC比AIC的惩罚更大，所选择出来的模型更小；BIC适用大样本，AIC适用于小样本。

案例分析

数据描述

本数据为wlr.csv数据，有6个变量，25个观测值。其中6个变量分别为$y, x1, x2, x3, x4, x5$，$y$是我们要分析的因变量，剩下的5个$x1, x2, x3, x4, x5$是自变量。

查看数据基本特征及其分布

首先查看数据的基本情况：

有上述基本描述可知，变量前半部分比较集中，但是到上四分位数和最大值之间，几乎所有的变量的最大值都是上四分位数的一半。

再接着，可视化查看数据分布的大致情况：

图1 x1的散点图	图2 x2的散点图	图2 x3的散点图
图2 x4的散点图	图2 x5的散点图

由上5张图片可以看出，x1第17个观测值、x2的第4个观测值、x3的第10、11、17个观测值、x4的第14、15个观测值，x5的第19、22个观测值可能为异常值点。但是总体波动不是特别大，所以我们开始适用线性模型来拟合原始数据。

模型拟合：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NNRCuYwM-1620629464962)(C:\Users\laguarange\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210509171540200.png)]

得到上述模型：$y = 4.2604768 + 0.1273254*x1 + 0.160566*x2 + 0.0007636*x3 -0.333199*x4 - 0.5746462*x5$

如上结果显示，只有一个自变量x2是显著的，其他都不显著。

得到的拟合优度$R^2$为0.8518，调整后的$R^2$为0.8128也比较高，但是这并不能代表线性模型就是显著的，因此还需要对模型进行进一步地检验。

模型检验：

检验残差

1. 首先对残差进行检验，以检验模型的假定条件是否满足。
   先对残差标准化，画出残差的图像

标准化残差的散点图

标准化残差的QQ图

由上图的左图可知，残差没有呈现处增加或者减少的趋势，因此基本认定残差是随机分布的，分布没有什么规律。

2. 对残差进行正态性检验：
   由上图右图，残差和认为残差服从正态分布的分位数近似一致，即散点图近似呈一条直线，所以认定残差服从正态分布。

异常值的检验：

继续对标准化之后的残差来进行检验：

标准化残差的散点图

标准化残差的QQ图

画出标准化残差之后的散点图，根据残差异常值的判定准则知道，标准化之后的残差中有两个观测值的绝对值大于2或3，这里我们初步认定其第2和第4个观测值为异常值点。其中水平红线为2，大于2代表是异常值点。

同时结合cook距离（上图的右图）来判定观测值的异常值点：得知第2、4、10个观测值为异常值点。其中水平的红线代表库克距离的边界($\cfrac{4}{n - k -1}$)，大于红线代表是异常值点。

结合两种方法，我们尝试分别删除第2和第4个观测值来重新建立回归模型来进行分析。

删掉第2个观测

删掉第4个观测

如图所示，在删掉第2个观测值之后，在显著性上，基本山没有发生变化，还是自变量x2较为显著，变量x5一般显著。在删掉第4个观测值之后，在显著性上，自变量x5由一般显著变得较为显著。

自相关性检验：

如图所示，对线性模型拟合之后的残差进行DW检验，得到p值为0.7676，不拒绝原假设。而原假设为$H_0:\rho = 0$，所以不拒绝原假设，认为残差没有自相关性。

多重共线性的检验：

这里使用方差膨胀因子VIF 来进行检验，分别得到对5个变量的方差膨胀因子为：

	x1	x2	x3	x4	x5
VIF	8.233159	2.629940	5.184365	1.702361	1.174053

上表中所有变量的VIF均小于10，使用膨胀方差因子判别法知，不能认为变量之间存在多重共线性。

总结

所有模型在以上的检验之后，可知，除去部分的异常值点，模型基本上满足线性回归的假定。

在对异常值的处理上，对比原始保留异常值，去除第2个异常观测值，去除第4个异常的观测值，以及同时去除第2个第4个观测值，其得到的拟合优度和调整后的拟合优度得：

	保留异常值	去除第2个观测	去除第4个观测	去除第2和第4个观测
$R^2$	0.8518	0.8905	0.8836	0.9184
$R_{adjusted}^2$	0.8128	0.8601	0.8512	0.8944

由上表的对比可知，只要是剔除了变量，回归模型对原始数据的拟合程度都有所提高。

就单个变量而言，去除第2个观测拟合优度的提升比去除第4个观测拟合优度的提升大一些，所以，若只剔除某一个异常值变量，仅仅去除第2个观测比仅仅剔除第4个观测的效果好。

但是，若同时去除第2个第4个观测值之后，回归模型对原始数据的拟合程度达到最高。若考虑剔除异常值的方法来提高拟合优度，比较推荐同时去除第2和第4个异常值。

但是这里我还存在有一个疑惑，本案例中的观测值比较少，若比较集中，使用线性回归的拟合效果一般都比较好，可能是数据越少，拟合程度越高，具体原因还需继续收集数据，增大数据量才可以知道。将此留给以后的学习再继续去探讨。

参考

多重共线性及解决方法（附R语言代码） - 知乎 (zhihu.com)

简单线性回归——异常值的处理 - 知乎 (zhihu.com)

第1章线性回归模型的自相关问题 - 百度文库 (baidu.com)

代码

##读入数据，生成R数据框mlr。
mlr <- read.csv("D:/lagua/CODING/R-learn/R-code/Chap7_PredictiveAnalysis/mlr.csv",
                header = TRUE)
rownames(mlr) <- mlr[, 1]
mlr = mlr[, -1]
summary(mlr)

# 画图初步查看数据
plot(mlr$x1,type='b')
plot(mlr$x2,type='b')
plot(mlr$x3,type='b')
plot(mlr$x4,type='b')
plot(mlr$x5,type='b')
boxplot(mlr[,-c(1, 4)])
boxplot(mlr[, 4])
boxplot(scale(mlr[, -1]))

# 箱线图查看是否有异常值点
boxplot(mlr$X1)
boxplot(mlr$X2)
boxplot(mlr$X3)
boxplot(mlr$X4)
boxplot(mlr$X5)

# 模型拟合，对mlr数据集进行线性回归，
# 公式“y~x1+x2+x3+x4+x5”指出Y是因变量，x1, x2, x3, x4, x5是自变量。
fit <- lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,mlr);fit
#查看建模结果,包括模型的拟合系数、残差、R方等信息。
summary(fit)

# 查看残差是否存在同方差，
# 查看异常值
plot(scale(fit$residuals), type='b')
abline(h=2,col='red')

## 正态性检验
qqnorm(scale(fit$residuals))
qqline(scale(fit$residuals), col="red")

# 标准化的残差，使用Cook距离画图，查看异常值点
scale(fit$residuals)
# 画残差图，查看是否满足假定
plot(cooks.distance(fit))
abline(h=4/(25-3-1), col="red")
cookdis = cooks.distance(fit)
cookdis[cookdis>4/(25-3-1)]

#取出mlr数据集中去除第2个观测值。
mlr_remove_2 <- mlr[-2, ]
mlr_remove_2 <- lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,mlr_remove_2)
plot(scale(mlr_remove_2$residuals), type='b') # 查看残差的分布
scale(mlr_remove_2$residuals) # 查看残差的数值
summary(mlr_remove_2)
# 去除第4个观测值
mlr_remove_4 <- mlr[-4, ]
mlr_remove_4 <- lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,mlr_remove_4)
plot(scale(mlr_remove_4$residuals), type='b')
scale(mlr_remove_4$residuals)
summary(mlr_remove_4)
# 同时去除第2和第4个观测
mlr_remove_24 <- mlr[-c(2, 4), ]
mlr_remove_24 <- lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,mlr_remove_24)
plot(scale(mlr_remove_24$residuals), type='b')
scale(mlr_remove_24$residuals)
summary(mlr_remove_24)

# 自相关性
library(lmtest)
help(dwtest)
resi= fit$residuals
dw = dwtest(fit);dw

# 多重共线性
#计算VIF
library(car)
vif(fit)