核密度估计python 核密度估计的优缺点

核密度估计是一种非参数估计方法，在机器学习领域，是一种非监督性学习方法。用于从给定分布的样本重建总体的分布函数。

优点：

• 非参数：假设少，不假设样本服从任何分布

缺点：

• 计算量：比起参数估计，非参数估计运算量大很多

1. 核密度估计(Kernel Density Estimation)

1.1 单变量(Univariable)密度估计

1.1.1 单变量的核密度估计

定理 1.1: 均匀核估计量
$\hat{f}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}k\left(\frac{X_i-x}{h}\right)$
要$\hat{f}$是$f$的一致估计量，只要核函数$k(\cdot)$满足

1. 归一化, $\int k(v)dv=1$
2. 对称性, $k(v)=k(-v)$
3. 二阶矩有限, $\int v^2k(v)dv<\infty$

并且可证明$\hat{f}$有一个渐进正态分布，也就是说$\hat{f}(x)$统计量服从中心极限定理。

注意到

\begin{align*}
 \hat{f}(x)&=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}k\left(\frac{X_i-x}{h}\right)\
 &=(\hat{F}\star k_h)(x)
 \end{align*}

其中$\star$表示卷积，$\hat{F}(x)=\sum_{i=1}^n\delta(x-X_i)$，是一堆针刺。这也就是说，通过总体的密度分布$\hat{f}$是利用宽度为$h$的核函数$k_h$平滑了针板函数$\hat F(x)$得到的。

均方误差(Mean Square Error)分析

\begin{align*}
 MSE[\hat{f}(x)]&\equiv E\left[\left(\hat{f}-f(x)\right)^2\right]\
 &=var\left[\hat{f}(x)\right]+\left[E\left(\hat{f}(x)\right)-f(x)\right]^2\
 &=var\left[\hat{f}(x)\right]+bias^2\left[\hat{f}(x)\right]
 \end{align*}

可以利用Taylor展开方便的证明$\hat{f}(x)$具有均方误差一致收敛速度满足下面定理

定理 1.2：设三阶可微概率密度$f(x)$有一组i.i.d.的$n$个观测值$\{X_n\}$。核函数$k(\cdot)$满足归一性，对称性和二阶矩存在，且当$n\to\infty$时，有$h$宏观无穷小$h\to 0$，微观无穷大$nh\to\infty$。则对于$x\in\text{supp}(X)$
\begin{align*}
MSE[\hat{f}(x)]&=bias^2[\hat{f}(x)]+var[\hat{f}(x)] \
&=\frac{h^{4}{4}\left[\kappa_2f}{(2)}(x)\right]^2+\frac{\kappa f(x)}{nh}+o(h^4+(nh){-1})
\end{align*}
其中$\kappa=\int k^2(x)dx$，$\kappa_2=\int x^2k(x)dx$由核函数性质决定。并且$|f^{(1)}(x)|<\infty$，$\int|x^3k(x)|dx<\infty$。

因此$\hat{f}(x)$在均方误差意义下一致收敛于$f(x)$。

更近一步，如果将MSE作为判据，为了使MSE最小($\frac{d\,MSE(\hat{f}(x))}{dh}=0$)，应该选取的核宽度为
$h_{opt}=c(x)n^{-1/5}$
其中$c(x)=\{\frac{\kappa\,f(x)}{\left(\kappa_2\,f^{(2)}(x)\right)^2}\}^{1/5}$

注意到上面的窗口宽度随着$x$变化的函数，如果希望使用固定窗口宽度，我们选择固定核宽度的积分均方误差作为评判标准，即估计密度函数和总体密度之间的期望希尔伯特距离

\begin{align*}
 IMSE[\hat{f}(x)]&\equiv \int E\left[\left(\hat{f}(x)-f(x)\right)^2\right],dx\
 &=\frac{1}{4}h4\kappa_22\int \left[,f{(2)}(x),\right]2,dx+\frac{\kappa}{nh}+o(h4+(nh){-1})
 \end{align*}

在这个意义下，可以求得是IMSE最小的优化$h_{opt}$
$h_{opt}=c_0n^{-1/5}$
其中$c_0=\kappa_2^{-2/5}\kappa^{1/5}\left\{\int [f^{(2)}(x)]^2 dx\right\}^{-1/5}>0$。

1.1.2 窗宽选择

1. 插入法(plug-in methods)
   为了求出在IMSE条件下最有的窗宽，需要确定常数$c_0$中的$\int \left[\,f^{(2)}(x)\,\right]^2\,dx$。由于$f$是未知的，所以这个量无法事先知道。如果选择一个$h$初始的“试验值”(pilot value)，然后将这个值代入$h_{opt}$的计算式求出的优化$h$，则这种方法称为“插入法”(plug-in methods)。
   Silverman(1986)提出假定$f$是一个以$\sigma^2$为方差的正态分布，则其二阶导可确定，$\int \left[\,f^{(2)}(x)\,\right]^2\,dx=\frac{3}{8\sqrt{\pi}\sigma^5}$，代入优化窗宽，可以得到试验窗宽估计
   $h_{pilot}=(4\pi)^{-1/10}[(3/8)\sqrt{\pi}]^{-1/5}\sigma n^{-1/5}\approx1.06\sigma n^{-1/5}$
   用此试验值进一步迭代计算$\int \left[\hat f^{(2)}(x)\,\right]^2\,dx$，定出最终的优化结果$h_{opt}$。
   Silverman还提出一种更加稳健的分散程度度量，就是用$\min\{\sigma, q_{1/4}/1.34\}$来代替$\sigma$，其中$q_{1/4}$表示四分位矩。
2. 交错鉴定法 交错鉴定法是一种完全由数据驱动的方法，其核心在于用一部分样本拟合模型来检验另一部分样本的拟合程度。通过不断改变训练集合测试集，来评价模型的好坏。当每次都只留一个样本作为检验对象，其他样本均做训练集时，所得到的估计量称为去一估计量(leave-one-out estimator)。 通过这种方法，我们可以来估计$\hat{f}$和$f$的希尔伯特距离，并以距离作为判据来选择窗宽，这种方法称为最小二乘交叉检验。 \begin{align*} L(\hat{f}, f)&=\int[\hat{f}(x)-f(x)]^2,dx\ &=\int\hat{f}(x)^2dx-2\int\hat{f}(x)f(x)dx+\int f(x)^2dx\ \end{align*} 其中第三项和$\hat{f}$无关，视为常数$\int f(x)^2dx=C$ 第二项采用去一估计量估计，即$\int\hat{f}(x)f(x)dx=E_X\left[\hat{f}(X)\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\hat{f}_{-i}(X_i)+O(n^{-1/2})$ 其中$E_x[\cdot]$是对$x$求期望，用来区别对观测量$X_i$求期望。在$X_i$处的去一估计量$\hat{f}_{-i}(X_i)$定义为$\hat{f}_{-i}(X_i)=\frac{1}{(n-1)h}\sum_{j\neq i}^n k\left(\frac{X_i-X_j}{h}\right)$ 表示用除了$X_i$这个观测量外的其他观测量来估计$X_i$处的密度函数。 第一项直接代入$\hat{f}(x)$的估计式，可以得到

\begin{align*}
 \int\hat{f}(x)2dx&=\int\left[\frac{1}{nh}\sum_{i=1}nk\left(\frac{X_i-x}{h}\right)\right]^2dx\
 %&=\frac{1}{n2h2}\sum_{i=1}n\sum_{j=1}n\int k\left(\frac{X_i-x}{h}\right)k\left(\frac{X_j-x}{h}\right)dx\
 %&=\frac{1}{n2h2}\sum_{i=1}n\sum_{j=1}n\int k\left(\frac{x}{h}\right)k\left(\frac{x+X_i-X_j}{h}\right)\cdot h, d\left(\frac{x}{h}\right)\
 &=\frac{1}{n2h}\sum_{i=1}n\sum_{j=1}^n\bar{k}\left(\frac{X_i-X_j}{h}\right)
 \end{align*}

1. 
   其中$\bar{k}(t)=\int k(x)k(t-x)\,dx$是$k(\cdot)$的重卷积核(two-fold convolution)，一般是两个独立同分布的随机变量之和的分布。可证明，$\bar{k}(\cdot)$也是偶函数。

定理 1.3 总体分布函数为$f(x)$，通过去一核估计交叉检验得到的估计量$\hat{f}$的积分平方误差$CV$为
$CV_f(h)=\frac{1}{n^2h}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\bar{k}\left(\frac{X_i-X_j}{h}\right)-\frac{2}{n(n-1)h}\sum_{i=1}^n\sum_{j\neq i}^nk\left(\frac{X_i-X_j}{h}\right)+C$
其中$\bar{k}(t)=\int k(x)k(t-x)\,dx$是$k(\cdot)$的重卷积核。

可以通过成熟的数值算法对$CV_f(h)$进行优化求解得到使交叉检验$CV_f$最小的核宽度$h$。
将$CV_f(h)$的首项提出，并使首项最小，会发现得到的最优解退化为IMSE最优解的情形。

除了最小二乘方法，还可以使用最概然交叉检验。根据玻尔兹曼熵定义，这种方法以最大化去一核最概然函数的对数为标准来选取$h$，即
$\mathcal{L}=k\ln L=k\sum_{i=1}^n\ln\left[\hat{f}_{-i}(X_i)\right]$
其中$k$为玻尔兹曼常数。这种方法受到尾部行为影响严重，对厚尾分布会引起不一致的结果，因此最概然交错检验不太流行。

1.2 单变量累计分布函数

1.2.1 累计分布函数的核估计

为了得到平滑的CDF估计量，我们从核函数出发，将密度分布函数估计进行积分
$\hat{F}(x)=\int_{-\infty}^x\hat{f}(x)dx=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nG\left(\frac{x-X_i}{h}\right)$
其中$G(x)=\int_{-\infty}^xk(x)dx$是核的累计分布函数。其均方误差有下面定理给出

定理 1.4：总体的累计分布函数$F(x)$二阶连续可微，且二阶倒数Holder连续，$k(x)$为对称的核函数，$G(x)=\int_\infty^xk(x)$为核积分函数。则当$n\to\infty$时，

\begin{align*}
 MSE[\hat{F}]&=bias[\hat{F}]^2+var[\hat{F}] \
 & = \left{ \frac{1}{2}\kappa_2h2F{(2)}(x) + o\left(h2\right)\right}2 \
 & + \left{\frac{1}{n}F(x)[1-F(x)]-\frac{1}{n}\alpha_0f(x)h+o\left(\frac{h}{n}\right)\right}\
 &=c_0(x)n{-1}-c_1(x)hn{-1}+c_2(x)h4+o(h4+hn^{-1})
 \end{align*}
 其中系数项为
 \begin{align*}
 c_0(x)&=F(x)[1-F(x)]\
 c_1(x)&=\alpha_0f(x)\
 c_2(x)&=\left[\frac{\kappa_2}{2}F{(2)}(x)\right]2\
 \alpha_0&=2\int xG(x)k(x)dx\
 \kappa_2&=\int x^2k(x)dx
 \end{align*}

系数由总体分布函数$F(x)$和核确定$k(x)$。

因此，可以容易的$\hat{F}$到积分均方误差IMSE
\begin{align*}
IMSE(\hat{F})&=\int E[\hat{F}(x)-F(x)]^2dx\
&=C_0n^{-1}-C_1hn{-1}+C_2h^4+o(h4+hn^{-1})
\end{align*}
其中$C_i=\int c_i(x)dx$是和$x$无关的常数。
首项最小化可以的到优化的核宽度选择
$h_{opt}=\left[\frac{C_1}{4C_2}\right]^{1/3}n^{-1/3}$
这比密度估计($n^{-1/5}$)收敛速度要快。

渐进正态特性，根据Liapunov中心极限定理，分布上
$\sqrt{n}[\hat{F}-F]\sim \mathcal N\left(0, F(x)[1-F(x))]\right)$
误差满足正态分布。

1.2.2 窗宽选择

交叉检验法：累计分布函数估计$\hat{F}(x)$的交叉检验函数定义如下
$CV_F(h)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\int \left[\mathbf{1}(X_i\le x)-\hat{F}_{-i}(x)\right]^2dx$
其中$\mathbf{1}$是示性函数，$\hat{F}_{-i}(x)=\frac{1}{n-1}\sum_{j\ne i}G\left(\frac{x-X_j}{h}\right)$为去一核估计量。

可以证明交叉检验函数期望的首项和$IMSE(\hat{F})$的首项相同。因此用交叉检验和用IMSE得到的效果相同。

1.3 多变量(Multivariable)联合分布密度估计

1.3.1 联合分布的核估计

当我们考察的对象从标量随机变量扩充为$q$维随机向量时，我们需要的估计的密度分布函数就也称为了联合密度分布。我们将问题形式化如下，假定有$n$个$q$维随机向量$\{X_n\}$且i.i.d服从联合密度函数$f(x_1,x_2,\ldots,x_q)$，记$X_{is}$为$X_i$的第$s$个分量。即

s	=		1	2	…	q
$X_1$	=	(	$X_{11}$,	$X_{12}$,	…,	$X_{1q}$	)
$X_2$	=	(	$X_{21}$,	$X_{22}$,	…,	$X_{2q}$	)
…	=	(	…,	…,	…,	…	)
$X_n$	=	(	$X_{n1}$,	$X_{n2}$,	…,	$X_{nq}$	)

联合分布的核函数通过单变量核函数的乘积构造，这样的构造的联合密度核函数是假设$q$个核相互独立时的联合分布函数，但$X$的分量之间并不需要限制是独立的。也就是说，$X$分量之间有依赖时也可以通过这样的核估计出来。我们用下面的方法来估计联合概率密度$f(x)$
$\hat{f}=\frac{1}{nh_1\cdots h_q}\sum_{i=1}^nK\left(\frac{X_i-x}{h}\right)$
其中，核函数
$K\left(\frac{X_i-x}{h}\right)=\prod_{i=1}^qk\left(\frac{X_i-x}{h_i}\right)$
而$k(x)$则是单变量核函数。

均方误差的计算类似于单变量的其概况，可以得到

定理 1.5：设三阶梯度存在的$q$维联合概率密度分布函数$f(x)\equiv f(x_1, x_2, \ldots, x_q)$有一组i.i.d.的$n$个观测值$\{X_n\in\mathbb{R}^q\}$。核函数$K(x)$为单变量核函数之积。且当$n\to\infty$时，有格子体积宏观无穷小$\max_{i}h_i\to 0$，微观无穷大$nh_1h_2\cdots h_q\to\infty$。则对于$x\in\text{supp}(X)$

\begin{align*}
 MSE[\hat{f}(x)]&=bias^2[\hat{f}(x)]+var[\hat{f}(x)] \
 &=\left{\frac{\kappa_2}{2}\sum_{s=1}qh_s2\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_s2}+O\left(\sum_{s=1}qh_s^3 \right)\right}^2\
 &+\left{\frac{1}{nh_1h_2\cdots h_q}\left[\kappaqf(x)+O\left(\sum_{s=1}qh_s^2\right)\right]\right}\
 &=O\left(\left(\sum_{s=1}qh_s2\right)^2+(nh_1h_2\cdots h_q)^{-1}\right)\
 &=O(L4+(nV){-1})
 \end{align*}

其中$\kappa=\int k^2(x)dx$，$\kappa_2=\int x^2k(x)dx$由单变量核函数性质决定。$L$为核宽度超立方体的对角线长度，而$V$为超立方体的体积。

渐进正态性讨论
如果$n\to\infty$，格子宏观无穷小$\max_{i}h_i\to 0$，微观无穷大$nV\to\infty$时，并且$nV\sum_{s=1}^qh_s^6\to 0$，密度估计量具有渐进正态性。
$\hat{f}(x)-f(x)-bias[\hat{f}(x)]\rightarrow\mathcal N(0, \frac{\kappa^qf(x)}{nV})$
即其无偏误误差服从均值为0的正态分布。

1.3.2 窗框选择

插入法
优化的核宽度选择应当平衡偏误和方差，也就是说，对于所有的$s$应当有
$h_s^4=O\left((nh_1h_2\cdots h_q)^{-1}\right)$
因此，优化的$h_s$应满足
$h_s=c_sn^{-1/(q+4)}$
在应用中，需要对常数$c_s$进行选择，经验法则山，一般选取$c_s=1.06$。但由于总体的分布函数可能各向异性，所以这样一概而论的常数缺乏灵活性。

对于插入法，一般通过$\hat{f}(x)$的偏误和方法首项进行估计，其中包含了总体分布$f(x)$和二阶偏导数，这在高维情况中是复杂的。在实际中插入法没有广泛使用，也不推荐使用。

交叉检验法
自然地将一维交叉检验函数扩充到高维的情况，定义交叉检验目标函数为

\begin{align*}
 CV_f(h_1,\ldots,h_q)&=\frac{1}{n2}\sum_{i=1}n\sum_{j=1}^n\overline{K}h(X_i, X_j)\
 &\quad-\frac{2}{n(n-1)}\sum{i=1}^n\sum_{j\ne i}^n K_h(X_i,X_j)
 \end{align*}
 其中
 \begin{align*}
 K_h(X_i,X_j)=\prod_{s=1}^q\frac{1}{h_s}k\left(\frac{X_{is}-X_{js}}{h_s}\right)\
 \overline{K}h(X_i,X_j)=\prod{s=1}^q\frac{1}{h_s}\bar{k}\left(\frac{X_{is}-X_{js}}{h_s}\right)
 \end{align*}

是单变量版本的乘积形式。可以通过数值方法来寻求目标函数的最小化。

从理论分析上交叉检验目标函数$CV_f(h_1,\ldots,h_q)$的首项通过下式给出
$CV_{f_0}(h_1, h_2, \ldots, h_q)=\int\left[\sum_{s=1}^qB_s(x)\,h_s^2\right]^2dx+\frac{\kappa^q}{nh_1h_2\cdots h_q}$
其中$B_s(x)=\frac{\kappa_2}{2}\frac{\partial^2f(x)}{\partial x_s^2}$， $\kappa=\int k^2(x)dx$，$\kappa_2=\int x^2k(x)dx$。
为了分离出样本数$n$的影响，我们定义$a_s=h_s\,n^{1/(q+4)}$，代换$h_s$得到
$CV_{f_0}(h_1, h_2, \ldots, h_q)=n^{-1/(q+4)}\chi(a_1, a_2,\ldots, a_q)$
其中$\chi(a_1, a_2,\ldots, a_q)$适合$n$无关的常数，定义为
$\chi(h_1, h_2, \ldots, h_q)=\int\left[\sum_{s=1}^qB_s(x)\,a_s^2\right]^2dx+\frac{\kappa^q}{a_1a_2\cdots a_q}$

因此可以看到，最大化首项的$h_s$应满足$h_s=O(n^{-1/(q+4)})$。同时可以证明$CV_{f_0}$的首项也是$E[CV_f]$的首项，也就说说，最优化$h_s$也使得积分均方误差的首项最小化。

最概然交叉检验和单变量情况通过最大化熵来给出最优化窗宽，虽然执行简单，单依然会有厚尾分布时出现缺陷的情况，会出现过度平滑。

1.4 高阶核函数

定义 1.1： 一个$\nu$阶核函数($\nu\ge 2$)应满足如下条件

1. 归一化, $\int k(x)dx =1$
2. 低阶矩为0, $\int x^l\,k(x)dx=0$，$l=1,\cdots, \nu-1$
3. $\nu$阶矩有限, $\int x^\nu k(x)dx=\kappa_\nu\ne 0<\infty$

则称核函数$k(\cdot)$为$\nu$阶核函数。

通常使用的核都属于二阶核函数$\nu=2$。与二阶核类似，对于总体分布函数$f(x)$是$\nu$阶可微，所有的维度使用相同阶核函数时，可以证明

\begin{align*}
 bias[\hat{f}(x)]&=O\left(\sum_{s=1}qh_s\nu\right)\
 var[\hat{f}(x)]&=O((nh_1h_2\cdots h_q)^{-1})
 \end{align*}

利用这个结果，可以得到均方差和估计的误差

定理 1.6: 对于一个$\nu$阶核函数，$nu\ge 2$，其误差由下式给出

\begin{align*}
 MSE[\hat{f}(x)]&=O\left(\sum_{s=1}qh_s{2\nu}+(nh_1h_2\cdots h_q)^{-1}\right)\
 \hat{f}(x)-f(x)&=O_p\left(\sum_{s=1}qh_s{\nu}+(nh_1h_2\cdots h_q)^{-1/2}\right)
 \end{align*}

利用一个高阶和可以同时较少偏误和方法。

值得注意的是，对于$\nu>2$，不存在非负核函数。也就意味着，我们有可能得到负的密度估计。对于有限样本来说，一个非负的二阶核函数经常比高阶核函数得到更稳定的结果。因此，高阶核函数经常被用于理论目次，而不太在实践中运用。

高阶核函数可以通过低阶核函数与多项式乘积的形式进行构造，通过矩约束求解多项式系数。

1.5 展望

1. 放开窗口宽度常数限制，使用变长窗口宽度。
2. 采用变换分布，消除偏度的影响。

参考资料

[1] Q. Li & J. S. Racine, Nonparametric Econometrics Theory and Practice, Peking University Press, 2007
[2] T. Hastie, R. Tibshirani & J. Friedman, The Elements of Statistical Learning, Second Edition, Springer, 2009
[3] B. Silverman, Density Estimation for Statistics and Data Analysis, Springer, 1986