Sophus降维、升维与欧拉角、旋转向量的爱恨情仇

0. 简介

在面对二维与三维之间的转换时，我们常常会困惑该如何去转换，在​​G2O​​中存在有理想的坐标转换工具，但是在Sophus中却缺乏这样的手段。之前在​​Sophus​​处简要的介绍了一下SE(2)与SE(3)的转换，最近发现之前的文章这部分需要拿出来详细的说一说。

1. 欧拉角与旋转向量

欧拉角、旋转向量、四元数和旋转矩阵是Sophus中常常提到的几个名词，欧拉角和旋转向量是类似的，SO(3)的旋转矩阵有9个量，但是只有3个自由度，并且是单位正交矩阵，具有冗余性，对其估计或优化问题的求解不方便。我们可以用一个旋转轴和一个旋转角描述任意旋转。一个方向与旋转轴一致，长度（模）等于旋转角的向量，我们称之为旋转向量(或轴角)。

旋转向量到旋转矩阵：

$R = cos\theta I+(1-cos\theta)nn^T+sin\theta \hat{n}$

其中提到的$\hat{n}$是向量的旋转矩阵，由于是反对称矩阵，所以只存在三个自由度，我们可以$X-Y-Z$轴来规定其反对称矩阵轴:
$\hat{n}=\begin{bmatrix} 0 && -{n_z} && {n_y} \\ {n_z} && 0 && -{n_x} \\ -{n_y} && {n_x} && 0 \end{bmatrix}$

所以我们可以从se,so中得到旋转向量数值。而欧拉角对于轴角表示情况,转轴具有2个自由度,转角1个自由度。 根据三次基本转动选取的坐标轴的不同，欧拉角共有12种组合。如 果再考虑到可选取原始坐标系的坐标轴，也可选取“新”坐标系的坐标轴，则共有24种欧拉角表示。一般规定原始坐标系为静坐标系，每个基本转动后形成的新坐标系为动坐标系。

• 24 种欧拉角表示列举如下：
• 静轴(即转轴选静坐标系的坐标轴):
  $sXYZ,sXZY,sXYX,$
  $sXZX,sYXZ,sYZX,$
  $sYXY,sYZY,sZXY,$
  $sZYX,sZXZ,sZYZ$

动轴(即转轴选动坐标系的坐标轴):

$rZYX,rYZX,rXYX,$
$rXZX,rZXY,rXZY,$
$rYXY,rYZY,rYXZ,$
$rXYZ,rZXZ,rZYZ$

静轴欧拉角和动轴欧拉角有如下规律:
绕静轴 $XYZ$ 分别 转 $α,β,γ$ 角度的转动与绕动轴 $ZYX$分别转 $γ,β,α$

对于不同的坐标系定义，有不同的转换关系。我们只讨论常用的一种情况：如上图，右手系，Z轴朝上，X轴朝前，y轴朝左。绕Z轴作偏航（Yaw）运动，绕Y轴作俯仰（Pitch）运动，绕X轴作滚转（Roll）运动，运动正方向如上图所示。

对于欧拉角计算公式我们可以得到 $α,β,γ$ 三个角度计算得到的旋转矩阵

上式中$R$与旋转次序有关，即当$θz，θy，θx$不都为小角时，对应于不同的旋转次序，空间坐标系b的最终位置时不同的，这就是有限转动的不可交换性。但是当$θz，θy，θx$都为小角时，忽略小角间的高阶小量,即：$Δx→0,cosΔx→1，sinΔx→Δx$

$R \approx \hat{n}=\begin{bmatrix} 0 && -{n_z} && {n_y} \\ {n_z} && 0 && -{n_x} \\ -{n_y} && {n_x} && 0 \end{bmatrix}$

其中$θz，θy，θx$角度为弧度，此时$θz，θy，θx$构成的列向量$[θz，θy，θx]^T$可视为三维空间的（旋转）矢量，此时旋转后的坐标系的最终角位置与旋转次序无关：无限转动与旋转次序无关

2. SE(2)与SE(3)的转换

SE(2)，通常是作为二维向量的表示形式，基本的组成部分为$x,y,yaw$三参数，其格式如下：

SE(3)则是在上式的基础上加入$z$轴，其格式如下：

$\begin{bmatrix} x_w \\ y_w \\ z_w \\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3} && {c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3} && {c_2 s_1} && t_wx \\ {c_2 s_3} && {c_2 c_3} && -{s_2} && t_wy \\ {c_1 s_2 s_3 - s_1 c_3} && {s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2} && {c_1 c_2} && t_wz \\ 0 && 0 && 0 && 1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}$

李群	SO(3)	SE(3)
旋转矩阵构建	​​Sophus::SO3d SO3(R)​​	​​Sophus::SE3d SE3(R,t)​​
四元数构建	​​Sophus::SO3d SO3(q)​​	​​Sophus::SO3d SO3(q,t)​​
输出	​​SO3.matrix()​​	​​SE3.matrix()​​
对数映射	​​Vector3d so3=SO3.log()​​	​​Vecotr6d se3=SE3.log()​​
指数映射	​​SO3d::exp(so3)​​	​​SE3d::exp(se3)​​
向量到反对称矩阵	​​SO3d::hat(so3)​​	​​SE3d::hat(se3)​​
反对称矩阵到向量	​​SO3d::vee(hat)​​	​​SE3d::vee(hat)​​

3. 示例代码