0. 简介
作为常用的配准方法，ICP和NDT两种匹配被广泛应用于激光雷达的点云配准方法中。我们知道IPC的匹配主要是描述了点到点的匹配方法，而无法胜任点到面以及面到面的匹配，而本博客主要就是将向读者分析《Generalized-ICP》这篇论文，GICP可以通过点到点的距离作为损失函数求解point-to-point的损失函数，点到局部目标点局部拟合的平面距离作为point-to-plane的损失函数，而文中主要提到的plane-to-plane损失函数则是假设点云具有平面特征，这意味着在3D空间处理采样2D流形。
1. GICP统一模型
GICP引入了概率信息（使用协方差阵），提出了ICP的统一模型。本文方法的核心思想是如何从概率的角度去看待和推导出ICP算法的目标函数。这里我们直接看原文就好，原文提到：
假设有两个匹配好的点集， , 且
和
再假设两个点云中的每个点，都是服从高斯分布的，其原因是由于测量等环节的误差，每个点的位置的测量值实际上是和真值存在偏差
对于有：
（注意有上标
）是理想中的correct rigid transform。代表了两个点云真实的转换关系，我们需要一个目标函数来寻找出最佳的
，以下是目标函数的推导过程：
首先定义残差，
代表了对原始点云使用
做转换后，第
个点对的有向距离。
它是由分布采样而来
其中的等号变换可以参考这篇文章。
因为都被我们假设为独立的、服从高斯分布的随机变量，所以将上式中的
替换为
，则可以变为：
接下来就是这篇文章的重点， 可以被看作
的概率分布中待估计的分布参数，借助最大似然估计(MLE)的思想，我们寻找一个是的当前样本
出现概率最大的
：
这一部分是执行了取log的操作，然后进一步化简
上面的式子是参考了Multivariate normal distribution的取对数以及代入的方法。
对于多元常态分布，其概率密度函数可以表示为
对上面的式子取log可以得到：
KaTeX parse error: \cr valid only within a tabular/array environment
代入，得到：
这样也就得到了我们上面的输出结果。这里的结果如果发现正态分布的协方差矩阵的行列式为常数时，则只需要优化最后一项就可以了。最后一项的二次型又被称作马哈拉诺比斯距离（马氏距离），极大似然估计等价于最小化样本点与均值之间的马氏距离。更详细的内容可以参考 高翔《视觉SLAM14讲》6.1 状态估计问题 。
这一部分则是对上一步的进一步化简，在 的情況下
然后又因为三维刚体变换矩阵中的旋转矩阵行列式值为1，平移矩阵行列式值也为1。又因为是旋转平移矩阵，可以拆成旋转矩阵和平移矩阵的乘积。且
，所以有矩阵的行列式值
，因此
照视觉十四讲所说，这里对做优化。其中第一项为常数，则可以忽略，其中
可以参考这个推导。
然后舍去负号，则可以将上式化简为论文中的公式2：
到此为止我们学习了GICP中最主要的公式推导公式了。
2. ICP应用
这里我们直接参照keineahnung2345的文章。文中介绍了三种ICP的推导，这一节要借助上文的结论。
2.1 point-to-point
传统的点到点ICP可以用GICP的框架表示如下
验证：
可以看出其目标为最小化点对间距离的平方和，也就是点到点ICP更新公式
2.2 point-to-plane
首先定义一个为正交的投影矩阵，有以下性质
。
其中会将向量投影到目标点云
中的第
点
法向量的局部平面上，因此
也就是转换后的
到
所在平面的距离。
验证：
和GICP比较我们就可以发现关系为
2.3 plane-to-plane
这里是GICP专门提出的一种方法，即相对于点到点和点到面加入概率模型（协方差阵）
平面到平面算法的做法是，假设点云具有平面特征，这意味着在3D空间处理采样2D流形。 由于现实世界的曲面至少是分段可微的，我们可以假设我们的数据集是局部平面的。此外，由于我们从两个不同的角度对流形进行采样，因此通常不会对完全相同的点进行采样（即，对应关系永远不会是精确的）。 从而导致采样点在局部拟合的平面方向上的不确定性较大，但是在法向量方向上不确定性较小。
为此，每个测量点仅提供沿其曲面法线的约束。为了对这种结构进行建模，我们考虑每个采样点沿其局部平面以高协方差分布，而在曲面法线方向（垂直于平面方向）以极低协方差分布（即点云法线方向不在局部平面上）。假设局部拟合平面上某一点的法向量是沿X轴的，则该点协方差矩阵变为：
为沿着法线方向极小的常数。
因为实际上法向量并不一定是沿轴方向，所以需要进行坐标转换。假设
对应的法向量分别为
,则它们对应的协方差阵为：
