1 决策树算法
1.1 决策树简介
1.1.1 什么是决策树
- 决策树主要有二元分支和多元分支.
- 判定树
- 内部结点是决策节点: 对某个属性的一次测试
- 分支: 每条边代表一个测试结果.
- 叶子: 代表某个类或者类的分布
- 决策条件-决策路径-叶子(结果)代表分类
- 决策树的数学模式解题思路:
- 贪心的算法 greedy solution
- 不是最好的树,全局最优解
- 当前的树里面找最好的树,局部最优解.
1.1.2 决策树的决策依据
- 决策树的目标:
- 最快速完成类别的判定
- 直观思路
- 应该凸显这种路径: 最有利做出判别
- 最大减少在类别判定上的不确定性
- 纯度上升的更快,更快速到达纯度更高的集合
- 怎么选择优先进行决策的判定属性
- 好的特征是什么原理?
- 获得更多信息来减少不确定性
- 知道的信息越多,信息的不确定性越小
1.2 信息熵和条件熵
1.2.1 信息熵
1.2.1.1 不确定性
- 信息量的度量就等于不确定性的多少
- 信息熵高:我们一无所知的事，就需要了解大量的信息
- 信息熵低:我们对某件事已经有了较多的了解，我们就不需要太多的信息
1.2.1.2 信息熵的公式
- 对数的运算法则
- 概率的公式
- 两个事件同时发生的信息等于各自信息的和
随机变量 x 的自信息
- 负号是用来保证信息量是正数或者零
- 描述的是随机变量的某个事件发生所带来的信息量
信息熵: 传送一个随机变量传输的平均信息量是
的期望
1.2.1.3 信息熵的解读
- 随机变量 x 的熵,它是表示随机变量不确定的度量，是对所有可能发生的事件产生的信息量的期望
- 随机变量的取值个数越多，状态数也就越多，信息熵就越大，混乱程度就越大
1.2.2 联合熵
1.2.3 条件熵
- 条件熵 H(Y|X) 表示在已知随机变量 X 的条件下, 随机变量 Y 的不确定性
- 条件熵 H(Y|X) 定义为 X 给定条件下, Y 的条件概率分布的熵对 X 的数学期望
- 相当在不同X的信息熵,加上X的值的概率的加权
1.2.3.1 条件熵公式
假设X有n个取值
假设Y有m个取值
所以
1.2.3.2 H(Y|X)条件熵的理解
- 在已知一些信息的情况下，因变量 Y 的不纯度，
- 即在X 的划分下，Y 被分割越来越“纯”的程度，
- 即信息的加入可以降低熵
- 条件熵表示在已知随机变量 X 的条件下，Y 的条件概率分布的熵对随机变量 X的数学期望
1.2.4 联合熵和条件熵的关系
引用别人的证明公式为:
1.3 ID3算法
1.3.1 信息增益
信息增益表示
- 得知特征X的信息, 使得类Y的信息不确定性(信息熵)减少的程度
* 划分前样本集合D的熵是一定的 ，entroy(前)，
* 使用某个特征A划分数据集D，计算划分后的数据子集的熵 entroy(后)
* 信息增益 = entroy(前) - entroy(后)
信息增益的符合表示
- 特征A对训练数据集D的信息增益$g(D,A)$,定义为集合D的经验熵$H(D)$与特征A给定条件下D的经验条件熵$H(D|A)$之差
- 考虑条件熵和联合熵的关系
- 这个公式让我们想到集合的交集公式
信息增益的含义
1.3.2 ID3的算法流程
- （1）自上而下贪婪搜索
- （2）遍历所有的属性，按照信息增益最大的属性进行分裂
- （3）根据分裂属性划分样本
- （4）重复上述流程，直至满足条件结束
1.3.3 ID3算法的缺陷
缺陷1
极端情况
其他缺陷
1.4 C4.5算法
1.4.1 信息增益率
- 可以理解为: 信息增益率 = 分裂信息将信息增益的标准化
- 或者理解为: 信息增益率 = 惩罚参数 * 信息增益
分裂信息: - 之前是把集合类别作为随机变量，现在把某个特征作为随机变量，按照此特征的特征取值对集合D进行划分v类，计算熵$H_A(D)$
信息增益率
1.4.2 连续值属性和分裂点
步骤: - (1)连续值属性从小到大排序,每对相邻点的中点作为分裂点
1.4.3 缺失值处理
1.4.3.1 学习过程中-缺失值处理
信息增益
- 计算信息熵,忽略缺失值
- 计算信息增益, 乘以未缺失实例的比例
分裂信息熵
分裂时候
- 缺失值实例分配给所有判断节点下面的分支上
- 但是每个分支的缺失值实例带一个权重: 该分支的概率(频率估算)
- 其他正常实例权重为1
叶节点定义
- (N/E)形式
* N该叶节点的实例数
* E叶节点中属于其他分类的实例数
1.4.3.2 分类过程-缺失值处理
- 缺失值该属性的遍历所有的分支
- 该属性的所有分支的概率: 分支的叶子节点的N必上所有N的比值
- 因为叶节点是NE的形势.
- 正例概率: N/E
- 反例概率: E/N
- 根据分支的概率,叶节点的正例概率反例概率的加权和
1.4.4 剪枝
1.4.4.1 过拟合
训练样本中的噪声导致过拟合
训练样本中缺乏代表性样本所导致的
1.4.4.2 预剪枝
限定树的的最大生长高度
1.4.4.3 后剪枝
后剪枝的目标
步骤
- (1)自底向上遍历每一个非叶子节点, 将当前的非叶子节点剪枝(从树中减去,其下所有的叶节点合并一个节点,代替被剪枝的节点)
- (2)计算剪枝前后的损失函数
- (3)如果损失函数变小, 则剪枝. 否则则还原.
- (4)重复上述过程,遍历所有的节点
子树的损失函数
- 带惩罚项
后剪枝的损失函数阈值
注意
- 子树的损失函数不做过多介绍,
2 CART算法
2.1 基尼不纯度gini impurity
- 或者称为基尼指数gini index
- 区别于基尼系数gini coefficient, 两者概念不同
假设有K个类，样本点属于第k类的概率为
，则概率分布的基尼指数定义为：
满足的条件:
2.1.1 基尼指数公式的推导
$-logp(x)$进行泰勒展开,
的高阶趋于0,忽略高阶项.就得到基尼指数(不纯度)的公式
- 基尼不纯度的计算可以看出，它的计算更加方便，
- 基尼不纯度是熵的一个近似值
2.1.2 二分类的基尼指数
对于二分类问题，如果样本点属于第一类的概率为p,则概率分布的基尼指数为
设
为D中属于第k类的样本子集，则基尼指数为
设条件A将样本D切分为D1和D2两个数据子集，则在条件A下的样本D的基尼指数为：
2.2 CART分类树
条件A, 将样本D, 切分为D1和D2两个数据子集的gini增益为
2.2.1 算法实现步骤
- 1）计算现有样本D的基尼指数，之后利用样本中每一个特征A，及A的每一个可能取值a，根据A>=a与A<a将样本分为两部分，并计算Gini(D,A)值
- 2）找出对应基尼指数最小Gini(D,A)的最优切分特征及取值，并判断是否切分停止条件，否，则输出最优切分点
- 3）递归调用1）2）
- 4）生成CART决策树
2.3 CART回归树
2.3.1 CART回归树的概念和公式
- , $Y$是连续变量
- (3)然后赋给每个输入空间的区域$R_i$有一个固定的代表输出值$C_i$
- (4)回归树的模型公式:
- * 如果 ,则$I=1$,否则 $I=0$
- 含义:先判断X属于哪个区域，然后返回这个区域的代表值。
- 这个区域中的元组的y值的均值
- * 某个区域 回归模型的损失函数
2.3.2 最小二乘回归树生成算法
注: 参考李航的<机器学习>编写, 更详细内容,请自行搜索资料查看
- (1)选择最优切分变量 j 与切分点 s，求解
- (2)用选定的对 (j,s) 划分区域并决定相应的输出值
- (3)继续对两个子区域调用步骤(1),(2)，直至满足停止条件
- ,生成决策树
