算法运行时间的度量---时间频度

用算法中标准操作即基本语句的执行次数来度量运行时间。

>基本语句执行次数越多，时间花费越多，执行次数称时间频度。

>时间频度和处理的数据规模n有关，可表示为n的函数T(n)。

s =0执行1次，i=0执行1次，i<n执行n+1次，i++执行n次，s = s+i执行n次，共计执行标准操作3n+3次。

s = 0;
for (i=0; i<n; i++)
    s = s+i;

故算法的时间频度为T(n)=3n+3。


Ø 循环语句 --- 需要 计算实际运行的次数 ，不是 看语句书写的次数。


Ø 分支语句 --- 按照 执行语句多的那个分支计算 。


如：

if (n>0)

{  for (i=0; i<n; i++)   cout<<i;  }

else  

    cout<<"n<=0!";

n>0时，为3n+3次；n<=0时，为1次。时间频度为3n+3。

时间复杂度定义

如果当n趋于无穷时，T(n)/f(n)的极限为一个非零常数，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

这种形式称为大O表示法。

即∃C和𝑁0， ∀n>𝑁0，有Tn≤C∗f(n)，则O(f(n)) 为算法的时间复杂度

例子1：               T(n)=3𝑛2+2𝑛+10

                            Tn≤3𝑛2+2𝑛2+10𝑛2≤15𝑛2

存在𝑁0=1, 𝐶=15，当n>𝑁0时，有Tn≤15∗𝑛2，

即fn=𝑛^2，算法的复杂度为O(n^2)。

例子2： 当T(n)=3n+3时，T(n)≤6nT(n)≤6n ，时间复杂度为O(n)

时间复杂度由时间频度函数中的最高次项决定，不带系数。

时间复杂度的计算方法


1. 找算法中和数据规模 n 有关的循环语句，计算循环体的执行次数获得时间频度函数。


2. 观察时间频度函数中关于 n 的最高次项，去掉其系数，即是时间复杂度的大 O 表示。


特殊地：如果算法中无执行次数和数据规模n的相关语句，即时间频度函数是一个常量，则时间复杂度为O(1)。

常见算法的时间复杂度：

常量阶O(1)、对数阶O(log2𝑛log_2⁡n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2𝑛log_2⁡n)、平方阶O(𝑛2n^2)、立方阶O(𝑛3)、n^3)、幂阶O(2𝑛)(2^n)、阶乘阶O(n!)、N幂阶O（𝑛𝑁n^N）。

注意：不仅限于这几种


Ø按照上面顺序，时间效率由高到低。


Ø到达立方阶之后，一旦数据规模大些，时间就已经是不能忍受了，是一个顽性算法；


Ø从常量级到平方级，通常称易性算法。




计算时间复杂度的简化工具

求和定理

求和定理:假定T1(n)、T2(n)是程序P1、P2的运行时间，并且T1(n)是O(f(n))的，而T2(n)是O(g(n))的。那么，先运行P1、再运行P2的总的运行时间是:T1(n)+T2(n)=O(MAX(f(n)，g(n))。
 

for (i=0; i<n; i++) a[i]=O;//第一段
for (i=0; i<n; i++)//第二段
        for (j=0; j<n; j++) a[i]= i+j;

按照求和定理为O(max(n, n2))=O(n2)

求积定理

求积定理:如果T1(n)和T2(n)分别是O(f(n))和O(g(n))的，那么T1(n)×T2(n)是O(f(n)× g(n))的。

for (i=O; i<n; i++)
    for (j=0; j<n; j++)
        {s=s+i+j; cout<<s; }

按照求积定理，为O(n*n)=O(n2)
 

1、通常考虑三个方面:最好情况的时间复杂度、最坏情况的时间复杂度和平均情况的时间复杂度。
2、大O表示法中，O是数量级order的首字母。
3、O(f(n))并不描述运行时间的精确值，只给出一个数量级。

4、它表示:当问题规模很大时，算法运行时间的增长受限于哪一个数量级的函数，简称为量阶。