python 帕累托累计分布 概率函数 帕累托的分布函数

PDF、PMF、CDF

概率论中PDF、PMF和CDF的区别与联系

1. 概念解释

• PDF：概率密度函数（probability density function）, 在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。
• PMF：概率质量函数（probability mass function), 在概率论中，概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率。
• CDF：累积分布函数 (cumulative distribution function)，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。

2. 数学表示

2.1 PDF

如果XX是连续型随机变量，定义概率密度函数为\(f_X(x)\)，用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即

2.2 PMF

如果XX离散型随机变量，定义概率质量函数为\(f_X(x)\),PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律,即

2.3 CDF

不管是什么类型（连续/离散/其他）的随机变量，都可以定义它的累积分布函数，有时简称为分布函数。

• 对于连续型随机变量，显然有：

那么CDF就是PDF的积分，PDF就是CDF的导数。

• 对于离散型随机变量，其CDF是分段函数，比如举例中的掷硬币随机变量，它的CDF为:

Pareto（帕累托）分布

Survial function 生成函数

The survival function is also known as the survivor function[2] or reliability function.[3]

又称 complementary cumulative distribution function.

其实就是1-CDF

Pareto distribution

https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution

• 注意形状参数\(\alpha\)必须是正的！

Generalized Pareto distribution

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Pareto_distribution

• 注意：形状参数（或者称为尾部指数）\(\xi\in(-\infty,+\infty)\)！



• 
  

因此，GP 分布是指数分布 (k = 0) 和帕累托分布 (k>0) 的广义化。GP 将这两个分布包括在更大的族中，因此可以实现连续的形状范围。

Matlab实现

利用广义帕累托分布对尾数据建模

https://ww2.mathworks.cn/help/stats/examples/modelling-tail-data-with-the-generalized-pareto-distribution.html

广义帕累托 (GP) 分布是一种右偏态分布，使用形状参数 k 和尺度参数 sigma 进行参数化。k 也称为“尾部指数”参数，可以为正值、零或负值。

x = linspace(0,10,1000);
plot(x,gppdf(x,-.4,1),'-', x,gppdf(x,0,1),'-', x,gppdf(x,2,1),'-');
xlabel('x / sigma');
ylabel('Probability density');
legend({'k < 0' 'k = 0' 'k > 0'});