python 多元线性回归方程的拟合 python求多元线性回归方程

ref. 《机器学习》周志华 P53

一、线性模型

线性模型（linear model）试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即

线性模型形式简单，易于建模。w直观表达了各个属性在预测任务中的重要性，因此线性模型有很好的可解释性（comprehensibility）。

二、（多元）线性回归

1. 问题的提出

给定数据集D如下:

则（多元）线性回归试图学得

，使得

，其中

=｛w1；w2；……；wd；b｝。

为进行向量化计算，将数据表示为X，每行对应一个样本，如下所示。在每个样本最后增加元素“1”，是为了用于拟合f（）里的偏置b。

则现在要拟合的函数为f(X)=

。

2. 问题求解

① 目标

确定

的关键在于如何衡量f(x)与y之间的差别，通常使用均方误差作为性能度量，使其最小化作为目标，即，

这种基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法”。

② XTX是满秩矩阵的情况：

 同样为了向量化计算，需要把y也表示为向量的形式，

。则问题求解的目标如（3.9）所示。

当XTX为满秩矩阵或正定矩阵时，式（3.10）推导出式（3.11）略。

式（3.11）是我们求解参数w，b的关键公式。

③ XTX不是满秩矩阵的情况：

在现实任务中的往往遇到X的属性个数大于样本个数的情况，即XTX不是满秩矩阵，此时用上述方法会得到多个

，且它们都能使均方误差最小化，选择哪一个解作为输出，将由学习算法的归纳偏好决定。常见的做法是引入正则化项，可参考岭回归、LASSO、Elastic Net等（我上篇博文有简单介绍）。

三、我的笔记

我最近的工作中，领导给出的任务是拟合一个包含7个样本，每个样本7个属性的数据集，其实就是一个7个变量的7个方程组，要求方程组没有b。接到这个任务，立刻就想到了是用线性回归问题。在机器学习算法中，对待拟合的函数普遍都加了偏置b，在我这个要求不设置b的任务中，将“二、（多元）线性回归”的求解问题稍改变一下即可，如下：

X无需在最后一列增加元素“1”（因为无需拟合b），仍然使用式（3.11）进行

的求解，这个

中不再含有b。

四、python代码

1. “二、（多元）线性回归”部分涉及的代码

# 线性回归 ref.《机器学习》.周志华.P55
def fitLM(X,Y):
    samplesize = np.size(X, 0)
    # 1. 样本最后一个元素置1
    X_b = np.ones([1, samplesize]).tolist()
    X = np.transpose(X).tolist()
    X.extend(X_b)
    X = np.transpose(X)

    # 2. 根据公式（3.11）求w*
    XT=np.transpose(X)
    equ1=np.linalg.inv(np.dot(XT,X))
    equ2=np.dot(XT,Y)
    w=np.dot(equ1,equ2)
    return w

2.  “三、我的笔记”部分涉及的代码

def fitLM(X,Y):
    samplesize = np.size(X, 0)
    
    # 2. 根据公式（3.11）求w*
    XT=np.transpose(X)
    equ1=np.linalg.inv(np.dot(XT,X))
    equ2=np.dot(XT,Y)
    w=np.dot(equ1,equ2)
    return w