文章目录

  • ​​1.算法的总体思想​​
  • ​​2.分治法的适用条件​​
  • ​​3.递归复杂度计算​​

1.算法的总体思想

  • 分治和递归是互不分离的
  • （1）将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题
  • （2）对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
  • （3）将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解
  • 总结，算法的总体思想是：将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

2.分治法的适用条件

  • 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
  • （1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
    因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加，因此大部分问题满足这个特征。
  • （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
    这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用
  • （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
    能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。
  • （4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
    这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。
  • 分治法的基本步骤
divide-and-conquer(P)
{
  if ( | P | <= n0) 
    adhoc(P); //解决小规模的问题，问题规模P很小，就直接求解
  divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk； //分解问题，分解成k个子问题
  for (i=1,i<=k,i++)
    yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题，第i个问题的解在yi中
  return merge(y1,...,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解
}
  • 平衡子问题
    使用分治递归，最好使子问题的规模大致相同
  • 分治法的复杂性分析
    设问题规模足够小的adhoc耗费1个单位时间。
    设分解子问题及子问题的解合并需用f(n)个单位时间。
    用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

3.递归复杂度计算

  • 目前的组要方法：代换法，递归树法，主方法
  • 求解复杂度需要忽略技术细节：在进行分析时先忽略这些细节，而后再确定其重要与否
    （1）假设n 可能是非整数.
    （2）忽略掉上取整和下取整，即n/2 可能是非整数.
    （3）忽略掉边界条件:

    • （3.12）递归与分支之分治_复杂度


    • （3.12）递归与分支之分治_复杂度_02

  • （1）代换法
    主要思想：1、猜测解的形式；2、 通过数学归纳法找出使解真正有效的常数.
    eg：
    归并排序计算复杂度的递推关系式为：T(n)=2T(n/2)+n
    步骤1：猜测 T(n)=O(n lgn)。原因：问题的规模分成n/2，合并的规模是n，每次分成一半的规模，分的是2个，这样分下去最多分logn趟，每趟最多处理n个数据，所以是O(nlong)的复杂度
    步骤2：证明对某一常数c>0，有 T(n)≤cnlgn

    • （3.12）递归与分支之分治_递归_03

  • 结论： 代换法名称来源于当归纳假设用较小的值时，用所猜测的值代替函数的解。这种方法很有效，但只能用于解的形式很容易猜测的情形
  • （3）主方法
    T(n) = aT(n/b) + f(n)

    • （3.12）递归与分支之分治_复杂度_04

  • eg1：T(n)=9T(n/3)+n求出其四件复杂度

    • （3.12）递归与分支之分治_分治法_05

  • eg2：求解： T(n)=T(2n/3)+1的时间复杂度

    • （3.12）递归与分支之分治_分治法_06