离散化 详解

一、简介

离散化，把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。

离散化本质上可以看成是一种哈希 ，其保证数据在哈希以后仍然保持原来的全/偏序关系。

通俗地讲就是当有些数据因为本身很大或者类型不支持，自身无法作为数组的下标来方便地处理，而影响最终结果的只有元素之间的相对大小关系时，我们可以将原来的数据按照从大到小编号来处理问题，即离散化。

用来离散化的可以是大整数、浮点数、字符串等等。

为什么要进行离散化处理？

离散化是程序设计中一个常用的技巧，它可以有效的降低时间复杂度。其基本思想就是在众多可能的情况中，只考虑需要用的值。离散化可以改进一个低效的算法，甚至实现根本不可能实现的算法。要掌握这个思想，必须从大量的题目中理解此方法的特点。例如，在建造线段树空间不够的情况下，可以考虑离散化。

二、数据离散化

有些数据本身很大， 自身无法作为数组的下标保存对应的属性。如果这时只是需要这堆数据的相对属性， 那么可以对其进行离散化处理。当数据只与它们之间的相对大小有关，而与具体是多少无关时，可以进行离散化。

例如：
$91054$与$52143$的逆序对个数相同。
设有$4$个数：
$1234567、123456789、12345678、123456$
排序：$123456<1234567<12345678<123456789=>1<2<3<4$
那么这4个数可以表示成：$2、4、3、1$

三、离散化数组

得益于C++的STL算法，我们可以直接对数组进行离散化：

// a[i] 为初始数组,下标范围为 [1, n]
// len 为离散化后数组的有效长度
std::sort(a + 1, a + 1 + n);
len = std::unique(a + 1, a + n + 1) - a - 1;
// 离散化整个数组的同时求出离散化后本质不同数的个数。

离散化完成后，可以使用​​std::lower_bound​​查询离散化前的编号：

std::lower_bound(a + 1, a + len + 1, x) - a;  // 查询 x 离散化后对应的编号

类似的：我们也可以对向量进行离散化：

// std::vector<int> a, b; // b 是 a 的一个副本
std::sort(a.begin(), a.end());
a.erase(std::unique(a.begin(), a.end()), a.end());
for (int i = 0; i < n; i++) b[i] = std::lower_bound(a.begin(), a.end(), b[i]) - a.begin();