牛客多校8.D.OR 二进制+思维

Problem Analysis

题目给给定数组$b[]、c[]$​​各具有$n - 1$​个元素，求满足$b[i] = a[i]\ or\ a[i - 1] \wedge c[i] = a[i] + a[i - 1]$条件的的具有$n$个元素的$a$​序列的个数。

拿到题目没啥思路，和队友讨论只需要确定$a$​​序列的首个元素，后面元素即可唯一确定，发现确实是正确的，但对于首元素的枚举方法如果纯暴力肯定会T，遂向学长求救，得知了神奇的结论：
$a + b = (a \vee b)+(a \wedge b)$
附赠一个证明过程：
$\begin{aligned} a+b=\sum_k(p_k+q_k)2^k \\ a \ or \ b=\sum_k(p_k\vee q_k)2^k\\ a \ and \ b=\sum_k(p_k \wedge q_k)2^k \\ \end{aligned}$

$a+b-a \ or \ b - a \ and \ b = \sum_k(p_k+q_k-p_k \wedge q_k - p_k \vee q_k)2^k=0$

然后通过列真值表，可以证明$a + b = (a \vee b)+(a \wedge b)$成立。​

那么我们现在可以得出$a_{\wedge}$数组(即为$c - b$​)，以及$a_{\vee}$(即为$b$​)，因此我们可以根据这两个数组求$a[1]$：

从最低位开始，每次枚举位为$0$或$1$，遍历$a_{\vee}$和$a_{\wedge}$序列，检验是否成立。如果$0$和$1$均不成立，则$a$序列无解直接输出$0$​；如果有一个成立，那么对于该位情况唯一，继续枚举；如果全部成立，则对于该位有两种情况，总情况$\times2$。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int b[N], c[N];

inline bool check(int k, int x, int n){
    for (int i = 1; i < n; i++){
        int _or = (b[i] >> k) & 1;
        int _and = (c[i] >> k) & 1;
        if (_or && !_and) x ^= 1;
        if (_or && _and && !x) return false;
        if (!_or && _and) return false;
        if (!_or && !_and && x) return false;
    }
    return true;
}

signed main(){
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n = 0, ans = 1; cin >> n;
    for(int i = 1; i < n; i++) cin >> b[i];
    for(int i = 1; i < n; i++) cin >> c[i];
    for(int i = 1; i < n; i++){
        c[i] -= b[i];
        if(c[i] < 0) return cout << "0" << endl, 0;
    }
    for(int i = 0; i < 32; i++){
        bool res1 = check(i, 0, n), res2 = check(i, 1, n);
        if(!res1 && !res2) return cout << 0 << endl, 0;
        else if(res1 && res2) ans *= 2;
        else if(res1 || res2) continue;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}