第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一:映射
1,映射概念 定义:设X,Y是两个非空集合。如果存在一个法则f使得对x中的每个元素x按法则f在y中有唯一的元素y与之对应,那么就称f为从x到y的映射,记作f: x->y.
像:y为x在f下的像。
原像:x为y(在映射下)的原像。
集合x为f的定义域,记作Df即Df=x,x中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域记为Rf或者f(x)
设f是从集合x到集合Y的映射,若Rf=Y,即Y中任一元素y都是x中某一元素的像,则称f为x到y上的映射或满射;若对x中任意两个不同的元素x1不等于x2,它们的像f(x1)不等于f(x2),则称f为x到y的单射;若映射f即是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射)
映射又叫算子,从非空集x到数集y的映射又称为x上的泛函;从非空集x到它自身的映射又称为x上的变换;从实数集(或其子集)x到实数集Y的映射通常称为定义在x上的函数。
2:逆映射与复合映射
只有单射才存在逆映射,若对于y属于Rf有唯一的x属于X,适合f(x)=y.于是,我们可定义g:Rf->X g称为f的逆映射,记作f的-1次方,其定义域Df^-1=Rf,值域Rf^-1=X。
映射g与f组成复合映射fog条件为g的值域Rg必须包含在f的定义域内即RgcDf.
二:函数
1:函数的概念 定义:设数集DcR,则称映射f:D->R为定义在D上的函数,通常简记为其中x为自变量,y称为因变量。D称为定义域,记作Df,即Df=D,Rf=f(D)={y|y=f(x),xcD}.函数是从实数集到实数集的映射。其值域总在R内,因此构成函数的要素是:定义域Df及对应法则f,两函数相同的条件是其定义域和对应法则都相同,否则就是不同。
对于有实际背景的函数根据实际背景中变量的实际意义确定。
自然定义域:抽象表达函数,通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合
几种函数:
绝对值函数:y=|x|={-x,x<0;x,x>=0};
符号函数:x=sgnx*(x)设x为任一实数,不超过x的最大整数称x的整数部分,记作[x],其函数图像称为阶梯曲线。
取整函数:x整数值处图形发生跳跃,跃度是1,此函数称为取整函数。
分段函数:这种在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数。
2:函数的几种特性:
函数的有界性:设函数f(x)定义域为D数集xcD,若f(x)<=k1,则f(x)在x上有上界,k1称为f(x)在X上的上界。f(x)>=k2,则f(x)在x上有下界,k2称为f(x)在X上的下界。有界的充分必要条件是有上界和下界,并且上界和下界不唯一。
函数的单调性
函数的周期性:若f(x+d)=f(x)则称f(x)为周期函数,d为f(x)的周期,通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期,但并不是每一个周期函数都有最小正周期——》狄利克雷函数
函数的奇偶性:奇函数f(x)+f(-x)=0;偶函数f(x)=f(-x).
3:反函数与复合函数:
4:函数的运算:
5:初等函数:
第二节数列的极限
一.数列极限的定义:
二.收敛数列的性质:
第三节函数的极限
一:函数极限的定义
二:函数极限的性质:
第四节:无穷小与无穷大“:
第五节:极限运算法则:
第六节极限存在准则 两个重要极限
第七节:无穷小的比较:
第八节:函数的连续性与间断点
第九节:连续函数的运算与初等函数的连续性
第十节:闭区间上连续函数的性质
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