病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理

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棉花糖 2024-06-12 21:31:50

文章标签 病态矩阵 python matlab python 线性系统系数矩阵 文章分类 Python 后端开发

线性系统解决方案中的病态

病态线性系统是一种线性系统，它对右侧矩阵上的系数矩阵或矢量的较小摄动做出响应，而系统解却发生了较大变化。看到这一点，将向要考虑的两个示例提供两种小扰动。在第一个示例中，将引入系数矩阵一个分量的轻微变化，在第二个示例中，将在右侧的向量上进行摄动。

**示例1，**在本例中，我们考虑线性系统 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_病态矩阵 python$ ，其中

$病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_系数矩阵_02$

为了在MATLAB中求解此线性系统，我们使用以下命令：

>> A = [5., 1., 1.; 1., 5., 1.; 1., 1., 5.]
A =
5 1 1
1 5 1
1 1 5
>> b = [5.; -3.; 5.]
b =
5
-3
5
>> x = A\b
x =
1.0000
-1.0000
1.0000
In Python:
In [1]: import numpy as np
In [2]: A = np.array([[5., 1., 1.], [1., 5., 1.], [1., 1., 5.]])
In [3]: b = np.array([[5.], [-3.], [5.]])
In [4]: x = np.linalg.solve(A, b)
In [5]: print(’x = \n’, x)
x =
[[ 1.]
[-1.]
[ 1.]]

现在，我们考虑的第一个扰动将在分量 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_线性系统_03$ 上，其中我们将 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_系数矩阵_04$ 设置为 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_病态矩阵 python_05$

>> B = A
B =
5 1 1
1 5 1
1 1 5
>> B(1, 1) = B(1, 1) + 0.0001
B =
5.0001 1.0000 1.0000
1.0000 5.0000 1.0000
1.0000 1.0000 5.0000
>> y = B\b
y =
1.0000
-1.0000
1.0000
>> disp(’x - y = ’), disp(num2str(x-y))
x - y =
2.1428e-05
-3.5714e-06
-3.5714e-06
>> disp([’|| x-y||_2 = ’ num2str(norm(x-y, 2))])
|| x-y||_2 = 2.2015e-05

Python代码

正在考虑的第二个扰动将在右侧，其中 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_系数矩阵_06$ 将被 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_系数矩阵_07$ 替换，从而在右侧给出向量 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_python_08$ 。原始系数矩阵 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_python_09$ 将保持不变，并且将求解线性系统 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_病态矩阵 python_10$ 。

MATLAB代码

Python代码

从示例1中可以注意到，系数矩阵或右侧向量的某些分量的较小变化会导致解的较小变化。因此，给定的线性系统对小扰动不敏感。对小扰动不敏感的系统称为适定系统。

**示例2，**在本例中，考虑线性系统 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_系数矩阵_11$ ，其中

$病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_matlab_12$

该示例的目的是显示系数矩阵F或向量 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_线性系统_13$ 的一个条目的微小变化如何导致线性系统 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_系数矩阵_11$ 的解的急剧变化。

MATLAB用于通过以下命令求解线性系统 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_病态矩阵 python_15$ ：

>> F = [1001, -999, 999; 1, 1, -1; 1000, -1000, 1000] ;
>> d = [1001; 1; 1000] ;
>> x = F\d
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results
may be inaccurate.
RCOND = 1.067985e-16.
x =
1
0.4147
0.4147

警告表明矩阵接近奇异，因此结果可能不准确。线性系统的MATLAB解决方案与所注意到的精确解决方案 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_系数矩阵_16$ 相去甚远。

在Python中，可以使用Python命令解决上述线性系统：

同样，尽管Python在找到线性系统解上比在MATLAB中具有更高的准确性，但在求解线性系统上的误差仍然不小。

同样，小的扰动将被引入系数矩阵 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_病态矩阵 python_17$ 和向量 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_线性系统_13$ 。首先，将扰动 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_线性系统_19$ 加到 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_线性系统_20$ ，得到矩阵 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_病态矩阵 python_21$ 。然后，计算线性系统 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_python_22$ 和 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_matlab_23$ 的解：

matlab

在Python中，将使用以下命令：

其次，向向量 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_线性系统_13$ 的第三分量添加一个较小的 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_线性系统_19$ 以获得向量 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_系数矩阵_26$ 并求解线性系统 $病态矩阵 python 病态矩阵正则化处理_线性系统_27$ 。在MATLAB中，使用以下命令：