用动态规划算法解Travelling Salesman Problem(TSP)问题
- 基础知识
- 动态规划的求解过程
- 动态规划方程的推导
- 状态压缩
- 源码:
- 输入数据:
基础知识
Travelling Salesman Problem (TSP) 是最基本的路线问题。它寻求的是旅行者由起点出发,通过所有给定的需求点后,再次返回起点所花费的最小路径成本,也叫旅行商问题、旅行推销员问题、担货郎问题等。
动态规划算法(Dynamic Programming,简称DP)通常用于求解具有某种最优性质的问题,其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后由这些子问题的解再得到原问题的解。
动态规划的求解过程
下面来验证一下此方法求解的可行性。
设 s,s1,s2…s为满足题意的最短回路。假设从s到s1的路径已经确定,则问题转化为从s1到s的最短路径问题。而很显然,s1,s2…s一定可以构成一条最短路径,所以构成最优子结构性质,可以用动态规划求解。
动态规划方程的推导
用 V’ 表示一个点的集合,假设从顶点 s 出发, d ( i , V’ ) 表示当前到达顶点 i,经过 V’ 集合中所有顶点一次的最小花费。
- .当 V’ 为仅包含起点的集合,也就是
- 其他情况,则对子问题求最优解。需在 V’ 这个城市集合中,尝试每一个城市结点,并求出最优解。
- 最后的求解方式为:
其中 S 为包含所有点的集合。把公式一套,题就解了。
状态压缩
推到动态规划方程时,我们注意到 V’ 是一个数的集合,而且解决的问题规模比较小,于是可以用一个二进制数来存储这个集合。简单来说就是——如果城市 k 在集合 V’ 中,那么存储集合的变量 i 的第 k 位就为 1,否则为 0。由于有 n 个城市,所有的状态总数我们用 M 来表示,那么很明显:M = 2^n,而 0 到 2^n -1 的所有整数则构成了 V’ 的所有状态。这样,结合位运算,动归方程的状态表示就很容易了。
源码:
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
// 定义常量
const int INF = 0x3f3f3f3f;
#define sqr(x) ((x)*(x))
// 定义变量
string file_name;
int type; // type == 1 满秩矩阵格式, type == 2 二维坐标式
int s;
int N;// 城市结点数量
int init_point;
double **dp; // 动态规划状态数组dp[i][j],i表示集合V’,j表示当前到达的城市结点
double **dis; // 两个城市结点之间的距离
double ans;
// 定义结构体
struct vertex {
double x, y; // 城市结点的坐标
int id; // 城市结点的id
int input(FILE *fp) {
return fscanf(fp, "%d %lf %lf", &id, &x, &y);
}
}*node;
double EUC_2D(const vertex &a, const vertex &b) {
return sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y));
}
void io() { // 数据读入
printf("input file_name and data type\n");
cin >> file_name >> type;
FILE *fp = fopen(file_name.c_str(), "r");
fscanf(fp, "%d", &N);
node = new vertex[N + 5];
dis = new double*[N + 5];
if (type == 1) {
for (int i = 0; i < N; i++) {
dis[i] = new double[N];
for (int j = 0; j < N; j++)
fscanf(fp, "%lf", &dis[i][j]);
}
}
else {
for (int i = 0; i < N; i++)
node[i].input(fp);
for (int i = 0; i < N; i++) {
dis[i] = new double[N];
for (int j = 0; j < N; j++)
dis[i][j] = EUC_2D(node[i], node[j]);// 计算城市之间的距离
}
}
fclose(fp);
return;
}
void init() { // 数据初始化
dp = new double*[(1 << N) + 5];
for (int i = 0; i < (1 << N); i++) {
dp[i] = new double[N + 5];
for (int j = 0; j < N; j++)
dp[i][j] = INF;
} // 初始化,除了dp[1][0],其余值都为INF
ans = INF;
return;
}
double slove() {
int M = (1 << N);
// M就是第四部分所说的V’状态总数,1<<N表示2^N,总共有2^N种状态
dp[1][0] = 0;
// 假设固定出发点为0,从0出发回到0的花费为0。TSP只要求是一个环路,所以出发点可以任选
for (int i = 1; i < M; i++) {
// 枚举V’的所有状态
for (int j = 1; j < N; j++) {
// 选择下一个加入集合的城市
if (i & (1 << j)) continue;
// 城市已经存在于V’之中
if (!(i & 1)) continue;
// 出发城市固定为0号城市
for (int k = 0; k < N; k++) {
// 在V’这个城市集合中尝试每一个结点,并求出最优解
if (i & (1 << k)) {
// 确保k已经在集合之中并且是上一步转移过来的结点
dp[(1 << j) | i][j] = min(dp[(1 << j) | i][j], dp[i][k] + dis[k][j]); // 转移方程
} // 将j点加入到i集合中
}
}
}
for (int i = 0; i < N; i++)
ans = min(dp[M - 1][i] + dis[i][0], ans);
// 因为固定了出发点,所以要加上到城市0的距离。另外要从所有的完成整个环路的集合V’中选择,完成最后的转移
return ans;
}
int main() {
io();
init();
string tmp = file_name + ".sol";
FILE *fp = fopen(tmp.c_str(), "w");
fprintf(fp, "%.2lf\n", slove());
delete[] dp;
delete[] node;
delete[] dis;
fclose(fp);
return 0;
}
输入数据:
若城市数据文件如下所示:
16
1 38.24 20.42
2 39.57 26.15
3 40.56 25.32
4 36.26 23.12
5 33.48 10.54
6 37.56 12.19
7 38.42 13.11
8 37.52 20.44
9 41.23 9.10
10 41.17 13.05
11 36.08 -5.21
12 38.47 15.13
13 38.15 15.35
14 37.51 15.17
15 35.49 14.32
16 39.36 19.56