三维向量内积python 三维向量内积推导

向量的内积，外积

• 向量
• 向量的模
• 向量的计算

• 向量加减
• 向量点乘（内积、点积、数量积）
• 向量叉乘（外积、向量积）

• 混合积

• 混合积公式推导

• 向量的几何运用

向量

高中时的向量长这样：$\vec{a}=(2,-3)、\vec{n}=(2,-3,-1)$
在线性代数中，一个三维向量可以用$3\times 1$矩阵表示，如：$V=\left[ \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right] 或 V^T=\left[ \begin{matrix} 2 \ -3 \ -1 \end{matrix} \right]$
所以对于一般的n元向量可以用$n\times 1$矩阵表示，如：$V=\left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \cdots \\ x_n \end{matrix} \right] 或 V^T=\left[ \begin{matrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ \cdots \ x_5 \end{matrix} \right]$，向量中的每一个元素$x_n$，都称作向量的一个分量。

向量的模

向量的模即向量的长度，如果A是n维向量，则A的模标记为：
$A=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdots \\ a_n \end{matrix} \right] \ ,\qquad |A|=\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3+\cdots +a^2_n}=A^TA$

向量的计算

向量加减

向量$\vec{a}=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdots \\ a_n \end{matrix} \right] \qquad$ 向量$\vec{b}=\left[ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \cdots \\ b_n \end{matrix} \right]$

$\vec{a}+\vec{b}=\left[ \begin{matrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \\ \cdots \\ a_n+b_n \end{matrix} \right] \qquad \vec{a}-\vec{b}=\left[ \begin{matrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \\ \cdots \\ a_n-b_n \end{matrix} \right]$

向量点乘（内积、点积、数量积）

向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$：$\qquad \vec{a}=A=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdots \\ a_n \end{matrix} \right] \quad \vec{b}=B=\left[ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \cdots \\ b_n \end{matrix} \right]$

a和b的点积公式为：$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots +a_nb_n=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$
另一种写法：$\vec{a} \cdot \vec{b}=A^TB=B^TA \qquad |\vec{a}|=A^TA \qquad |\vec{b}|=B^TB$

向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的点积结果是一个数值
点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度
点乘的物理意义可看做：力F在位移x的方向上做的功（$W=\vec{F} \cdot \vec{x}$）

向量叉乘（外积、向量积）

向量$\vec{a}=\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right] \qquad$ 向量$\vec{b}=\left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{matrix} \right]$

a和b的叉乘公式为：
$\vec{a} \times \vec{b}=\left| \begin{matrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right| =(y_1z_2-z_1y_2)i+(z_1x_2-x_1z_2)j+(x_1y_2-y_1x_2)k$

$\vec{a} \times \vec{b}= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right| = i\left| \begin{matrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{matrix} \right|- j\left| \begin{matrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{matrix} \right|+ k\left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \right|$

$\vec{a} \times \vec{b}=(y_1z_2-z_1y_2 \ , \ z_1x_2-x_1z_2 \ , \ x_1y_2-y_1x_2)$

$i,j,k$是单位向量，分别是：x轴方向$\vec{i}=(1 , 0 , 0) \quad$ y轴方向$\vec{j}=(0 , 1 , 0) \quad$ z轴方向$\vec{k}=(0 , 0 , 1)$

计算方式就是把中间的式子当成一个$3\times 3$的行列式，最后结果合并同类项

$3\times 3$的行列式计算：$iy_1z_2+jz_1x_2+kx_1y_2-iz_1y_2-jx_1z_2-ky_1x_2$

看看另一种傻瓜式算法(虽然傻，但这是书上的推导过程)：

• 单位向量：x轴方向$\vec{i}=(1 , 0 , 0) \qquad$ y轴方向$\vec{j}=(0 , 1 , 0) \qquad$ z轴方向$\vec{k}=(0 , 0 , 1)$
• $\vec{i} \times \vec{i}=\vec{j} \times \vec{j}=\vec{k} \times \vec{k}=0 \qquad$
• $\vec{i}=\vec{j} \times \vec{k} \qquad \vec{j}=\vec{k} \times \vec{i} \qquad \vec{k}=\vec{i} \times \vec{j}$
• $-\vec{i}=\vec{k} \times \vec{j} \qquad -\vec{j}=\vec{i} \times \vec{k} \qquad -\vec{k}=\vec{j} \times \vec{i}$
• $\vec{a}=(x_1 , y_1 , z_1) = x_1i+y_1j+z_1k \qquad \vec{b}=(x_2 , y_2 , z_2) = x_2i+y_2j+z_2k$
• $\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} &=(x_1i+y_1j+z_1k) \times (x_2i+y_2j+z_2k) \\ & = x_1x_2(i \times i)+y_1x_2(j \times i)+z_1x_2(k \times i) \\ & \quad + x_1y_2(i \times j)+y_1y_2(j \times j)+z_1y_2(k \times j) \\ & \quad + x_1z_2(i \times k)+y_1z_2(j \times k)+z_1x_2(k \times k) \\ & = y_1z_2(j \times k)+ z_1y_2(k \times j)+z_1x_2(k \times i)+x_1z_2(i \times k)+x_1y_2(i \times j)+y_1x_2(j \times i) \\ & =(y_1z_2-z_1y_2)i+(z_1x_2-x_1z_2)j+(x_1y_2-y_1x_2)k \\ \end{aligned}$
• $\vec{a} \times \vec{b}=(y_1z_2-z_1y_2 \ , \ z_1x_2-x_1z_2 \ , \ x_1y_2-y_1x_2)$

向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的叉乘结果还是一个向量，大小是$|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$，方向遵守右手定则（先让右手四指指向$\vec{a}$的方向，当右手的四指从$\vec{a}$以不超过180度的方向转向$\vec{b}$时，竖起的大拇指就是$\vec{a} \times \vec{b}$的方向。[$\vec{a} \times \vec{b}$从$\vec{a}$转向$\vec{b}$，$\vec{b} \times \vec{a}$从$\vec{b}$转向$\vec{a}$]）

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是a和b向量构成的平面的法向量。通俗一点就是如果$\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}$，那么$\vec{a} \cdot \vec{c}=0,\vec{b} \times \vec{c}=0$

点乘的几何意义是：$\vec{a} \times \vec{b}$在数值上等于由向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$构成的平行四边形的面积（也就是$|\vec{a}|$为底，$|\vec{b}|\sin\theta$为高）
点乘的物理意义可看做：力F在力臂L的方向上的力矩（$\vec{M}=\vec{L} \cdot \vec{F}$，$L$是从转动轴到着力点的距离矢量）

补充：

• $\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}$
• 叉乘不满足结合律，满足雅克比恒等式：$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})+\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a})+\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})=0$
• 两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行，当且仅当$\vec{a} \times \vec{b}=0$
• 拉格朗日公式1：$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\vec{b} \times (\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{a} \times (\vec{b} \cdot \vec{c})$
• 拉格朗日公式2：$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})=\vec{b} \times (\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{c} \times (\vec{a} \cdot \vec{b})$

混合积

定义： 已知三个向量a，b和c。如果先作两向量a和b的外积a×b，把所得到的向量与第三个向量c再作数量积，这样得到的数量叫做三向量a，b，c的混合积，记作[abc]。

定理：三个向量a，b，c共面的充分必要条件是[abc]=0

性质：
$\qquad$ 式子1：$[abc]= [bca]= [cab] =(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}=(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}$
$\qquad$ 式子2：$[bac]= [acb]= [cba] =(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}=(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}=(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}$
$\qquad$

向量的混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积。如果向量a、b、c组成右手系（即c的指向按右手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是正的；如果a、b、c组成左手系（即c的指向按左手规则从a转向b来确定），那么混合积的符号是负的。
其实从定义就可看出，混合积的正负取决于向量(a×b)与向量c夹角的余弦值。

几何运用：
$|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta=$ 两向量a、b为邻边，所构成的平行四边形的面积。|a|是底|b|$\sin\theta$是高
混合积[abc]的绝对值，等于三个向量a、b、c为邻边，所构成的平行六面体的体积。$|\vec{a} \times \vec{b}|$是底面积，|c|$\cos\theta$是高，$\theta$是向量(a×b)与向量c的夹角

混合积公式推导

向量$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$ ，向量$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$ ，向量$\vec{c}=(x_3,y_3,z_3)$

因为：

$\vec{a} \times \vec{b}= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{matrix} \right|i+ \left| \begin{matrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{matrix} \right|j+ \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \right| k$

所以：

$[abc] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}= \left| \begin{matrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{matrix} \right| x_3+ \left| \begin{matrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{matrix} \right| y_3+ \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \right| z_3= \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{matrix} \right|$

向量的几何运用

示例1

$S的有向面积=\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|$

示例2
平面XOY上的三个点$A=(x_1,y_1) , B=(x_2,y_2) , C=(x_1,y_1)$，则三角形ABC的有向面积$S=\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{matrix} \right|$

证明：
向量$\vec{a}=(x_2-x_1 , y_2-y_1)$ ，向量$\vec{b}=(x_3-x_1 , y_3-y_1)$
以向量a、b为邻边，所构成的平行四边形的有向面积$S=\left| \begin{matrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{matrix} \right|$

$\left| \begin{matrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & 0 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & 0 \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{matrix} \right|$

示例3
空间中的三个向量，向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ，向量$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ ，向量$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)$ ，以三个向量为邻边构成的的平行六面体的有向体积$V=\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{matrix} \right|$

示例4
空间中的两个向量，向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ，向量$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3) \quad$则两向量所在平面的法向量 $\vec{n}=(\left| \begin{matrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \ , \ -\left| \begin{matrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{matrix} \right| \ , \ \left| \begin{matrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{matrix} \right|)$

$\vec{a} \times \vec{b}= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| = i\left| \begin{matrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{matrix} \right|- j\left| \begin{matrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{matrix} \right|+ k\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{matrix} \right|$