R语言中的百分号 r语言中π怎么表示

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• 4 极限常数

• 圆周率 π \pi π
• 自然对数e
• 欧拉常数 γ \gamma γ

重读微积分（一）：极限

4 极限常数

圆周率$\pi$

历史上很早就产生了极限思想，而割圆术就是这种思想的绝佳体现。

设正N边形边长为$a$，则周长为$L=Na$，而其边长与边数的关系可以表示为

$a=2R\sin\frac{\pi}{N}\to L=2NR\sin\frac{\pi}{N}$

圆可以理解为边数为无穷多的正多边形，即

$L=\lim_{n\to\infty}2nR\sin\frac{\pi}{n}=2\pi R$

由于古人不知道圆周率，所以需要通过不断地测量多边形的边长和周长来逼近，则对于正多边形而言

$\Pi=\frac{L}{2R}=N\sin\frac{\pi}{N}$

N = c(3:100)
Pi = N*sin(pi/N)
plot(N,Pi,type='l',xlab='N',ylab='Pi')

由于到了后面，误差变得越来越小，所以用对数来看一下误差的变化

N = c(3:10000)
err =log(pi-N*sin(pi/N),10)
plot(N,err,type='l',xlab='N',ylab='err')

可见割到了正10000边形，也只能得到$10^{-7}$的精度，通过计算可以得到正10000边形算出的圆周率约为3.14159260，所以我们至今也无法知道祖冲之他老人家到底是怎么得到的。

options(digits=15)
10000*sin(pi/10000)
[1] 3.14159260191267

圆周率的这种定义其实也提供了一个重要极限，即

$\pi=\lim_{n\to\infty}N\sin\frac{\pi}{N}\to\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

自然对数e

很多人喜欢把自然对数和复利计算联系在一起。

假设某银行的年利率为$x$，即存入W元，一年之后本息合计$W(1+x)$；如果一年之后将本息重新存入银行，则再过一年，本息合计为$W(1+x)^2$，重复操作$n$年之后，则其本息之和为$W(1+x)^n$。

假设这家银行可以按月算利率，则每月利率为$\frac{x}{12}$，如果按月存取，则每年本息之和为$W(1+\frac{x}{12})^{12}$。

假设这家很行可以按照任意时间算利率，若存钱时间为$\frac{1}{n}$年，则利率为$\frac{x}{n}$，相应地一年的本息之和为$W(1+\frac{x}{n})^n$。

那么问题来了，是不是随着$n$逐渐增大，一年的收获会越来越多呢？

为了计算方便，假设$x=1$，即正常$W$存一年，一年之后本息翻倍为2W。

结果发现

最终这个值趋近于一个常数，这个常数就定义为$e$，看来一年最多翻e倍，这个方法没办法发财了。但至少明白了一个著名的极限

$e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=2.7182818...$

当然，银行不太可能有翻倍这么爽的年利率，设为$x$的话，则有

$e^x=(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n)^x=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{nx}=\lim_{m\to\infty}(1+\frac{x}{m})^m$

很合理。

欧拉常数$\gamma$

对$e$两侧以$e$为底取对数，可得

$1=\lim_{n\to\infty}n\ln(1+\frac{1}{n})=\lim_{n\to\infty}n\ln(\frac{n+1}{n})=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)-\ln n}{\frac{1}{n}}$

根据这个式子，我们可以猜测

$\gamma=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\sum_{n=1}^\infty[\ln(n+1)-\ln n]=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}-\ln N$

是一个常数：

N = c(1:10000)
for(i in c(1:0000)){
    H[i]=sum(1/N[0:i])
}
plot(N,gamma,type='l',xlab='N',ylab='gamma')
gamma[10000]
[1] 0.577265664068198

我们猜对了，这个常数即欧拉常数。

其证明过程也不复杂

$\begin{aligned} \ln N&=\int^N_1\frac{1}{x}\text dx=\int^N_1\frac{1}{x}+\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{\lfloor x\rfloor}\text dx\\ &=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}+\int^N_1\frac{1}{x}-\frac{1}{\lfloor x\rfloor}\text dx \end{aligned}$

令$-\gamma=\int^N_1\frac{1}{x}-\frac{1}{\lfloor x\rfloor}\text dx$，则

$\gamma=\int^N_1\frac{x-\lfloor x\rfloor}{x\lfloor x\rfloor}\text dx<\int^N_1\frac{1}{\lfloor x\rfloor^2}\text dx$

则$\gamma$收敛。