二叉树结点个数的计算python 二叉树 python

树与树算法

• 树的概念: 是一种抽象数据类型(ADT), 或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
• 树的特点:

• 每个节点有0个或多个子节点
• 没有父节点的节点叫根节点
• 每一个非根节点有且只有一个父节点
• 除了根节点外, 每个子节点可以分为多个不相交的子树

• 树的术语:

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

• 树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
• 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

• 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
• 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
• 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；

• 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
• B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

• 树的储存与表示

• 顺序储存: 将数据结构储存在固定的数组中, 在遍历的速度上有一定的优势, 但因所占空间比较大, 是非主流的二叉树
• 二叉树通常以链式方式储存

二叉树概念与特性

• 基本概念: 二叉树每个节点最多有两个子树的树结构, 通常子树被称 左子树 和 右子树
• 特性:

• 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
• 性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
• 性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
• 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
• 性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

二叉树的遍历

• 树的遍历模式有两种: 深度优先遍历 和 广度优先遍历
• 深度优先一般用---递归
• 广度优先一般用---队列

①. 深度优先遍历

• 先序遍历: ( 根节点->左子树->右子树 )

• 在先序遍历中, 我们先访问根节点, 然后递归使用先序遍历访问左子树, 再递归使用先序遍历访问右子树

• 中序遍历: ( 左子树->根节点->右子树 )

• 在中序遍历中, 我们递归使用中序遍历访问左子树, 然后访问根节点, 最后最后在递归使用中序遍历访问右子树

• 后序遍历: ( 左子树->右子树->根节点 )

• 在后序遍历中, 我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树, 最后访问根节点

②. 广度优先遍历

• 从树的根root开始, 从上到下 从左到右 遍历整个树的节点

代码实现两种遍历算法如下:

# coding=utf-8
class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, item):
        self.item = item
        self.lchild = None  # 左子树
        self.rchild = None  # 右子树


class BinaryTree(object):
    """二叉树"""
    def __init__(self, node=None):
        self.root = node

    def add(self, item):
        """
        广度优先遍历方式 添加节点
        :param item:
        :return:
        """
        # 如果根为空, 则直接对根添加节点item
        if self.root is None:
            self.root = Node(item)

        else:
            # 定义一个队列 来保存我们的数据
            queue = []
            queue.append(self.root)
            # 对已有节点进行层次遍历
            while True:
                # 取出队列的第一个元素
                node = queue.pop(0)
                if node.lchild == None:         # 如果左子树为空, 就添加对象节点
                    node.lchild = Node(item)
                    return
                else:
                    queue.append(node.lchild)   # 如果左子树不为空, 添加到队列继续判断

                if node.rchild == None:         # 如果右子树为空, 就添加对象节点
                    node.rchild = Node(item)
                    return
                else:
                    queue.append((node.rchild)) # 右子树不为空, 添加到队列


    def breadth_travel(self):
        """广度优先遍历"""
        if self.root is None:
            return
        queue = []
        queue.append(self.root)
        # 当序列不为空, 进入循环遍历
        while len(queue) > 0:
            node = queue.pop(0)
            print(node.item, end=" ")
            # if node.lchild is not None:     # 写法同于if node.lchild:
            if node.lchild:
                queue.append(node.lchild)
            if node.rchild:
                queue.append(node.rchild)


    def preorder_travel(self, root):
        """先序: 根 左 右"""
        if root:
            print(root.item, end=" ")           # 根
            self.preorder_travel(root.lchild)   # 左
            self.preorder_travel(root.rchild)   # 右


    def inorder_travel(self, root):
        """中序: 左 根 右"""
        if root:
            self.inorder_travel(root.lchild)    # 左
            print(root.item, end=" ")           # 根
            self.inorder_travel(root.rchild)    # 右


    def postorder_travel(self, root):
        """后序: 左 右 根"""
        if root:
            self.postorder_travel(root.lchild)  # 左
            self.postorder_travel(root.rchild)  # 右
            print(root.item, end=" ")           # 根


if __name__ == '__main__':
    tree = BinaryTree()
    tree.add(0)    # 给序列添加元素
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.add(6)
    tree.add(7)
    tree.add(8)
    tree.add(9)
    tree.breadth_travel()              # 调用广度遍历
    print("")
    tree.preorder_travel(tree.root)    # 调用先序遍历
    print("")
    tree.inorder_travel(tree.root)     # 调用中序遍历
    print("")
    tree.postorder_travel(tree.root)   # 调用后序遍历


# 输出结果
广度遍历: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
先序遍历: 0 1 3 7 8 4 9 2 5 6 
中序遍历: 7 3 8 1 9 4 0 5 2 6 
后序遍历: 7 8 3 9 4 1 5 6 2 0