一、最短距离
求解城市之间的最短距离是一个非常实际的问题，其大意如下：
某地区有n个城市，如何选择路线使某个城市到某个指定城市的距离最短？
注意：这里需要求解的最短路径指的是两个城市之间的最短距离，而不是前面所讲的所有城市之间最短总距离。
1.1 最短路径算法
先来分析一下这个问题。某地区的n个城市构成一个交通图，仿照前面一节，这里仍然可以使用图结构来描述此问题，其对应关系如下：
每个城市代表一个图中的一个顶点。
两个顶点之间的边即两个城市之间的路径，边的权值代表了城市间的距离。
因此，求解两个城市之间的最短距离问题就归结为该图的最小路径问题。
对于一个带权图，一条路径的起始顶点往往称为源点，最后一个顶点为终点。对于图7-10所示的带权无向图，下面来分析每个顶点到顶点V1的最短路径。
对于V2到V1，两者之间的最短路径即两者之间的边，路径权值为2;
对于V3到V1，两者之间的最短路径即两者之间的边，路径权值为5;
对于V4到V1，两者之间没有边，可以经过顶点2然后到达顶点1,此时路径权值为2+4=6;也可以经过顶点5然后到达顶点1,此时路径权值为2+3=5。因此，最短路径为经过顶点5 然后到达顶点1,路径权值为5;
对于V5到V1，两者之间的最短路径即两者之间的边，路径权值为3;
在图中求解最短路径，可以采用如下算法：
(1) 将图中所有顶点的集合记为V,最小生成树中的顶点集合为U。初始时，V中包含所有顶点，而U中只有一个顶点V0。
图1带权无向图图的最短路径
(2) 然后，计算下一个顶点到顶点V0的最短路径，并将该顶点加入集合U中。
(3) 将上述步骤不断重复，直到全部顶点都加入集合U,这样便得到每个顶点到达顶点V0的最短路径。
按照此思路便可以编写相应的算法来求解最短路径。代码示例如下：
在上述代码中，定义了图的最大顶点数MaxNum和用于保存特殊符号Z的最大值MaxValue。数组path用于保存两点经过的顶点集合的数组，数组tmpvertex用于保存最短路径的起始点集合。
邻接矩阵图结构为GraphMatrk,其中包括保存顶点信息的数组Vertex,图的类型GType、顶点的数量VertexNum、边的数量EdgeNum、保存边的权的二维数组EdgeWeight及遍历标志数组isTrav。
方法DistMin()即最短路径算法，其输入参数GM为GraphMatrix结构的图数据，输入参数vend 为指定的终止点编号。程序中严格遵循了前述求解最短路径的算法，读者可以对照以加深理解。
1.2 最短路径求解
学习了前述图的最短路径算法后，便可以求解两个城市之间的最短距离问题。假设一个地区共有5个城市，如图2所示，各个城市之间道路的距离如下：
城市1和城市2之间为2km;
城市1和城市3之间为5km;
城市1和城市5之间为3km:
城市2和城市4之间为4km:
城市3和城市5之间为5km:
城市4和城市5之间为2km。
下面通过前述的图论求解最短路径的算法来求解各个城市到城市1之间的最短距离。完整的程序代码示例如下：
图2 城市间的交通图
在上述代码中，图的处理部分参照了前面章节中关于图结构的算法。在主方法中，首先输入图的种类，0表示无向图，1表示有向图。然后输入顶点数和边数。接着清空图，并按照输入的数据生成邻接表结构的图。此时，由用户输入一个指定的结束点，然后调用DistMin()方法来求解各个顶点到达该指定结束点的最短路径。最后，将计算得到的最短路径结果输出显示。
整个程序的执行结果，这里按照题目的要求输入，这是一个无向图，包含4个顶点和6条边，将各个城市之间道路的距离作为权值输入。从图中的结果可知，各个城市到达城市 1的最短距离分别为：
城市2到城市1的最短距离为2km.直接到达：
城市3到城市1的最短距离为5km,直接到达：
城市4到城市1的最短距离为5km,中间经过城市5;
城市5到城市1的最短距离为3km,直接到达。
程序源码
完整的程序源代码如下：http://www.manonggu.com/suancheng/view659.html
