互补滤波器
从 RC 电路 到 数字滤波器 。
参考：wikiPedia
by luoshi006
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介绍
原理
低通滤波器
一阶低通滤波器
传递函数
常见的 RC 电路构成的一阶低通滤波器的输入(U) 输出(Y)关系如下：
YU =11+RC⋅S
其中，滤波器的截止频率为： w c =1RC 。
将传函转换为微分形式：
y(t)+RCdy(t)dt =x(t)
dy(t)dt =差分=y(k)−y(k−1)Δt ，代入得到差分形式：
y(k)=RCΔt+RC y(k−1)+ΔtΔt+RC x(k)
由近似公式：
11+Δt/RC = ˙ 1−ΔtRC
可得：
y(k)=(1−ΔtRC )y(k−1)+ΔtRC x(k)
即，一阶低通滤波的差分形式。
二阶低通滤波
过程略；
y(k)=2(1+σΔt)1+2σΔt+ω 2 0 Δt 2 y(k−1)−11+2σΔt+ω 2 0 Δt 2 y(k−2)+ω 2 0 Δt 2 1+2σΔt+ω 2 0 Δt 2 x(k)
其中， σ=R2L ,ω 2 0 =1LC 。
高通滤波器
依然使用RC电路为模型。
传递函数为：
G(s)=11+1RC⋅S
=RC⋅SRC⋅S+1
******************* 内容仅作参考 *******************************
由 $s=\frac {Z-1}{T}$变换：
$$U\cdot RC \cdot Z - U\cdot RC=Y\cdot RC \cdot Z- Y\cdot RC+Y\cdot T$$
Z反变换：
$$Y(k+1)=U(k+1)-U(k)+(1-\frac{T}{RC}) Y(k)$$
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将传函转化为微分形式：
RC⋅dy(t)dt +y(t)=RC⋅dx(t)dt
转换为差分形式：
y(k)=RCRC+T y(k−1)+RCRC+T (x(k)−x(k−1))
互补滤波器
综上，可知：
低通滤波器：
y(k)=RCRC+T y(k−1)+TRC+T x(k)
高通滤波器：
y(k)=RCRC+T [y(k−1)+Δx(k)]
故，互补滤波器：
y(k)=RCRC+T [y(k−1)+Δx gyro (k)]+TT+RC x acc (k)
angle = (factor) * (angle + gyro * dt ) + (1 - factor) * (x_acc);
其中，factor 为互补滤波因子，定义域：( 0 , 1 )。
the end
本文简单介绍了一阶互补滤波的理论和实现，以期望对刚开始接触数字滤波的朋友有所帮助。
互补滤波使用较多的 mahony 滤波，限于篇幅，另外介绍。
