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第1章 ZC序列概述
1.1序列的定义
每个元素不是在其他元素之前,就是在其他元素之后。
如果排列的对象是二进制比特0或1,称为二进制序列。二进制序列是坐标轴上的0和1两个点组成的序列,不同点可以重叠。
如果排列的对象是整数,那么称为整数序列。整数序列是横或纵坐标轴上的一个个的点组成的序列,点可以重叠。
如果排列的对象是复数,那么称为复数序列。复数序列是极坐标中的一个个的点组成的序列,点可以重叠。
1.2 复指数回顾
(1)复数的极坐标形式
- r:模 :幅角
(2)欧拉公式
- 输入的是实数,输出的是复数,它的一般形式是,这种函数叫实变量复(数)值函数。
欧拉函数首先是一个复数函数;其次,实部和虚部满足一定的关系 ,即平方和等于1。
欧拉序列:是有单位圆上的一个个点组成的、特殊的、复数序列。
1.3 ZC序列概述
在4G LTE系统中,PSS、SSS、cellRS、DMRS、SRS、PRACH、PUCCH等物理层信号,基本上都涉及到了ZC(Zadoff –Chu)序列信号。
在5G NR系统中,除了采用M序列来生成抵抗大频偏场景的PSS和SSS信号,其它信号也同样涉及到了Zadoff –Chu序列。
Zadoff –Chu序列,顾名思义,就是Zadoff 和Chu共同发现的序列。
ZC序列并不是一个二进制序列,而是一个欧拉复数序列。
也就是说,ZC序列并不是横坐标或纵坐标上一个个点的序列,也不是平面坐标上的任意一个个点的序列,而是复平面坐标上的单位圆上的一个个点组成的序列。
每个点对应一对(I, Q)的幅度值。
1.5 ZC序列的数学公式
其中m是序列的序号,q和N都是可调参数,则圆上的点与坐标轴的夹角为:
在q和N确定的情况下, ZC序列的点如下图所示:
1.6 ZC序列与复指数相位调制的关系
如果把ZC序列的一个个点,作为复指数信号的调制信号,就会得到相位调制的信号。
载波信号:任意频率的复指数信号
调制信号的幅度A:恒定不变, 落在单位元上。
调制信号的相位:满足
1.7 ZC序列的特点
(1)恒包络
任意长度的ZC序列的信号的幅值是恒定的,这也意味着功率恒定,这个好处就是射频器件不用忽大忽小的改变能量。
(2)理想周期自相关
(3)良好的互相关
ZC序列循环移位N后,原序列只与移位后的序列得良好的相关峰值,其它位置的序列相关峰值为0。
除此之外,两个根如果是互质的,生成的序列相关峰值几乎为零。
(4)傅立叶变换后仍是ZC序列
这个性质,简直就是为OFDM系统量身打造,也省去多少运算量。既可以在时域相关,也可以在频域相关,灵活决定姿势,怎么方便怎么来。
OFDM符号采用IFFT变换而来,OFDM符号要想保持正交性,就要求首尾要保持相位的连续性。
OFDM本质是多个并行的子载波采用正交IQ调制,然后相加在一起,以单个子载波对应的时间周期T,离散化后,刚好是一个离散逆傅立叶变换IFFT,这是OFDM调制采用IFFT变换的本质。
(5)对于发端,ZC序列峰均比低(ZC序列时频域都是ZC序列,且幅值恒定),有利于射频功放信号发挥最大的效率。
(6)对于信道估计,ZC序列幅值恒定,其图形可看作一个单位圆。
第2章 PSS ZC序列的产生过程
2.1 ZC符号的产生
(1)设定PSS中的小区ID为0,1,2
(2)0,1,2映射到ZC序列函数中的参数root index上,在上图中,体现公式中的q或u参数上。
(3)设定PSS ZC序列的个数62,即n=0,1,2,3,......61
(4)设定PSS ZC序列的参数N=63, 使之满足0<= n <= N-1
(5)取u=25,n=0,1,2,3,......61,得到NID=0时,由62个单位圆上的点组成的ZC序列。
这个序列实际上是单位圆上的一个个点,基带载波的幅度恒定为1,相位满足:
(5)取u=29, n=0,1,2,3,......61,得到NID=1时,由62个单位圆上的点组成的ZC序列。
这个序列实际上是单位圆上的一个个点,基带载波的幅度恒定为1,相位满足:
(5)取u=34, n=0,1,2,3,......61,得到NID=2时,由62个单位圆上的点组成的ZC序列。
这个序列实际上是单位圆上的一个个点,基带载波的幅度恒定为1,相位满足:
因此,ZC系列中的每个子载波,并不需要QAM或PSK调制和解调,而是幅度恒定为1,相位值为62个特定的系列值。
至此,根据不同的物理小区ID号,得到3组不同的ZC序列。实际上,一个确定的小区,其小区ID是确定的,因此其ZC序列也是确定的。
根据相位系列的特征,得到物理小区ID号。
PSS是一个ZC序列,由62个符号组成。NCellID不同时,PSS序列也是不同的,这表示PSS序列随NCellID (PCI: Physical CellID)变化而变化。
2.2 PSS的子载波
PSS和SSS信号位于小区中心频点的72个子载波上,即中心的6个RB上。这个时频资源的位置是固定的:
- 在整个小区频谱的中心位置
- 在10ms帧帧的5ms子帧处。
其中,不包含中心频点DC(DC其实也占用了一个Sc,因此对于更底层来说准确的应该是73)。
2.3 把ZC符号序列,映射到PSS的子载波上(调制)
PSS的ZC序列,由62个符号(幅度恒定为1,相位满足特定的函数关系)构成。
PSS的子载波有72个,足以承载62个符号。
实际只使用了频率中心DC周围的62个子载波,两边各留了5个(5+5=10)子载波用作保护波段。
也就是说,用于承载ZC序列的子载波的个数只需要62个。
因此PSS的ZC序列与PSS的子载波是一一对应的关系。
中的k表示:在时频矩阵中的子载波编号,l表示:时频矩阵中的时间轴的编号,即符号数。
表示小区中心频点处的子载波号。
上述公式,实际就是把PSS的ZC序列按顺序一一映射到PSS的一个个子载波。
从时域上看,一个OFDM符号(其中,中心频点上下的62个子载波)中就包含了完整的PSS的同步系列。
这62个子载波:
- 每个子载波的幅度相同,恒定为1
- 每个子载波的相位大小,就是一个ZC系列。
2.4 ZC符号的相位调制与普通相位调制的比较
把ZC符号序列,映射到PSS的子载波上的过程实际上是一个相位调制PSK的过程。
与普通相位调制相比,有相同点,也有不同点:
(1)相同点:
- 不改变载波的幅度
- 不改变载波的频率
- 调制的是载波的相位
- 都是复指数调制和IQ调制
- 复指数调制和IQ调制的本质是通过幅度控制相位
(2)不同点:
- 相位的可变性:普通的相位调制的相位值是固定几种,如45°,90°,135°等等,而ZC的相位值可以是任意的。
- 相位的数量:普通的相位调制的相位的数量是固定,如QPSK是4种,8PSK为8种,而ZC的相位远远大于这个,PSS ZC序列的相位就有62个。
2.5 ZC序列的本质
经过如上的阐述,可以看出,ZC序列实际上是有无数个不同相位序列构成的子载波序列!!!
第3章 UE对PSS ZC序列的检测过程
(1)UE会在其支持的LTE频率的中心频点附近去尝试接收PSS和SSS。
(2)UE并不需要解调出每个子载波的相位值,只需要得到复指数的幅度值就可以了。
(3)UE也不需要先算出Root Index,在计算得到对应的NID.
(3)由于UE是知道PSS ZC序列的格式的,因此UE可以预先生产ZC序列的复指数信号的幅度值序列,然后用幅度值序列与收到的信号的幅度序列进行匹配,即模式匹配。
(4)因此UE获取NID的方法是采用模式匹配。
第4章 复指数回顾
4.1 复数的定义
复数变实数,需要用到共轭性质:,,
4.2 复数的计算
分子分母同乘以分母的共轭复数
4.3 复数的极坐标形式
- r:模 :幅角
4.4 欧拉公式
- 输入的是实数,输出的是复数,它的一般形式是,这种函数叫实变量复(数)值函数。
4.5 指数函数的性质:
- 指数函数的运算法则(指数率):,或者;
- 的求导法则:,或者
- 当时:,或者
- 这个定义符合无穷级数
4.6 两个复数相乘:
- 用极坐标算,只需将模r相乘,幅角相加:
- 用直角坐标算会很麻烦:
4.7 求积分:
- 直接算可以用分部积分法,但很麻烦
- 因为是的实数部分,所以可以将替换,原方程变为,积分完成后再去掉虚数部分即可
- 将转换成三角函数:
- 去掉虚数部分得:
4.8 计算:
- 在实数范围内,计算结果只有:1或±1
- 在复数范围内,计算结果有n个:单位圆上的n个等分点(,,……,)
- 证明:因为是单位圆,模相乘r=1;因为是等分点,幅角相加,
- 几何图见视频40:00~45:00