Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则(u,v) 常有权值，若u不是v的出边邻接点，则(u,v)权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
模版:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXNODE = 510;
const int MAXEDGE = 100010;
typedef int Type;
const Type INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge {
int u, v, next;
Type dis;
Edge() {}
Edge(int u, int v, Type dis, int next): u(u), v(v) ,dis(dis), next(next) {}
};
struct HeapNode{
int u;
Type d;
HeapNode() {}
HeapNode(int u, Type d): u(u), d(d) {}
bool operator < (const HeapNode &a) const {
return d > a.d;
}
};
struct Dijkstra{
int n, m;
Edge edges[MAXEDGE];
int head[MAXNODE];
Type d[MAXNODE];
bool vis[MAXNODE];
void init(int n) {
this->n = n;
memset(head, -1, sizeof(head));
m = 0;
}
void AddEdge(int u, int v, Type dis) {
edges[m] = Edge(u, v, dis, head[u]);
head[u] = m++;
}
Type dijkstra(int s, int t) {
priority_queue<HeapNode> Q;
for (int i = 0; i < n; i++) d[i] = INF;
Q.push(HeapNode(s, 0));
d[s] = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
while (!Q.empty()) {
HeapNode x = Q.top(); Q.pop();
int u = x.u;
if (u == t) return d[u];
if (vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {
Edge &e = edges[i];
if (d[e.v] > d[u] + e.dis) {
d[e.v] = d[u] + e.dis;
Q.push(HeapNode(e.v, d[e.v]));
}
}
}
return -1;
}
}dij;
int main() {
return 0;
}
