总结一下，加深印象。

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
示例 2：

输入：n = 7
输出：21
示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：

0 <= n <= 100

解题思路：
设跳上 nn 级台阶有 f(n)种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上 1 级或 2 级台阶。

  • 当为 1级台阶： 剩 n-1 个台阶，此情况共有 f(n-1)种跳法；
  • 当为 2级台阶： 剩 n-2个台阶，此情况共有 f(n-2)种跳法。

即 f(n)为以上两种情况之和，即f(n)=f(n−1)+f(n−2) ，以上递推性质为斐波那契数列。因此，本题可转化为 求斐波那契数列第 n 项的值 。

  • 青蛙跳台阶问题： f(0)=1 , f(1)=1, f(2)=2 ；
  • 斐波那契数列问题： f(0)=0 , f(1)=1, f(2)=1。

斐波那契数列的定义是 f(n+1)=f(n)+f(n−1) ，生成第 n项的做法用动态规划。

动态规划：
原理： 以斐波那契数列性质 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) 为转移方程。
从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。

动态规划解析：

  • 状态定义： 设 dp为一维数组，其中 dp[i]的值代表斐波那契数列的第 ii 个数字。
  • 转移方程： dp[i + 1] = dp[i] + dp[i - 1] ，即对应数列定义 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1) ；
  • 初始状态： dp[0] = 1, dp[1] = 1 ，即初始化前两个数字；
  • 返回值： dp[n] ，即斐波那契数列的第 n个数字。

空间复杂度降低：
若新建长度为 n的 dp列表，则空间复杂度为 O(N)。
由于 dp列表第 ii 项只与第 i-1和第 i-2 项有关，因此只需要初始化三个整形变量 sum, a, b ，利用辅助变量 sum 使 a, b 两数字交替前进即可 。因为节省了 dp 列表空间，因此空间复杂度降至 O(1)。

循环求余法：
大数越界： 随着 n 增大, f(n)会超过 Int32 甚至 Int64 的取值范围，导致最终的返回值错误。所在在每次进行循环内的运算的时候，直接取余保证不溢出。

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        a, b = 1, 1
        for _ in range(n):
            a, b = b, (a + b) % 1000000007
        return a