1.二叉搜索树的结构
二叉搜索树是能够高效地进行如下操作的数据结构。
■插人一个数值
■查询是否包含某个数值
■删除某个数值
根据实现的不同,还可以实现其他各种各样的操作,是一种实用性很高 的数据结构。二叉搜索树
如何储存数值请参见下图。
所有的节点,都满足左子树上的所有节点都比自己的小,而右子树上的所有节点都比自己大这一条件。
二叉搜索树能够高效地管理数的集合。例如,可以通过如下方法在上图的二叉搜索树中查询是否存在10。
■根节点的数值是7,比10小,所以往右儿子节点走。
■走到的节点的数值是15,比10大,所以往左儿子节点走。
■走到的节点是10,因此10在集合中。
接下来,如何往树中插入新的数值呢?
如果我们按照查找数值的方法试图查找这个数值的节点,就可以知道其对应的节点的所在位置,之后在那个位置插入新的节点即可。例如,我们需要插人数值6。和查找的方法类似,从根节点出发,通过“左→右”两步,就可以知道6应该是5的右儿子,因此在5的右儿子的位置插入6的节点即可(请参见图A)。
最后是删除数值。数值的删除比起之前提到的操作稍微麻烦- -些。 例如,我们要删除数值15。如果删除了15所在的节点,那么它的两个儿子10和17就悬空了。于是,把11提到15所在的位置就可以解决问题(请参见图B )。
一般来说,需要根据下面几种情况分别进行处理。
■需要删除的节点没有左儿子,那么就把右儿子提上去。
■需要删除的节点的左儿子没有右儿子,那么就把左儿子提上去。
■以上两种情况都不满足的话,就把左儿子的子孙中最大的节点提到需要删除的节点上。
2.二叉搜索树的复杂度
不论哪一种操作, 所花的时间都和树的高度成正比。因此,如果共有n个元素,那么平均每次操作需要O(log n)的时间。
3.二叉搜索树的实现
下面是二叉搜索树的一种实现方法。
#include<iostream>
using namespace std;
struct node {
int val;
struct node* left,* right;
};
struct node* insert(struct node* s,int val) {
if(s==NULL) {
s=new node;
s->val=val;
s->left=NULL;
s->right=NULL;
} else {
if(val>=s->val)
s->right=insert(s->right,val);
else s->left=insert(s->left,val);
}
return s;
}
struct node* remove(struct node* s,int val) {
if(s==NULL)
return NULL;
else if(s->val>val)
s->left=remove(s->left,val);
else if(s->val<val)
s->right=remove(s->right,val);
else {
if(s->left==NULL) {//左子树为空时
struct node* t=s->right;
delete s;
return t;
} else if(s->left->right==NULL) {//左子树的右子树为空时
struct node* t=s->left;
delete s;
return t;
} else {//寻找左子树的最右节点作为替代节点
struct node* q;
for(q=s->left; q->right->right!=NULL; q=q->right);
struct node* r=q->right;
q->right=r->left;
r->left=s->left;
r->right=s->right;
delete s;
return r;
}
}
return s;
}
int main() {
int n;
cin>>n;
struct node *s=NULL;
for(int i=0; i<n; ++i) {
int val;
cin>>val;
s=insert(s,val);
}
for(int i=0; i<n; ++i) {
cout<<s->val<<" ";
s=remove(s,s->val);
}
}