传统上，协整的测试是在非常长的时间内进行的，本案例研究A测试了1960-2010年期间T-Bill利率和国债收益率之间的平衡。
但是作为量化主义者，我们必须在市场数据中寻找共同运动。
现货曲线
银行提供每日收益率曲线数据。考虑长时间框架的小窗口是有意义的。
2013年5月至2015年5月的两年窗口期（以下图表）。
• 所有数据从2005年1月至2015年5月。
我们必须学习均衡修正模型ECM(误差修正模型) ，从协整的多变量 检验中窥探一二。
短期利率
长期利率
曲线数据的问题
1. 在这种数据中，RT在 "短端" ，YT在 "长端"。 不具有协整性。
2. 哪些利率是协整的？
恩格尔格兰杰(Engle-Granger)预览
让我们选择一个具有协整的10Y和25Y期限的模型，因为它们作为基准 的重要性。
• 首先，我们检验r10Y和r25Y是否存在单位根
• 然后，我们设置了一个协整方程
我们测试这个估计的残差ˆet的平稳性。
如果残差是平稳的，这意味着r10Y和r25Y有一个共同的单位根，并且已经被差分法去除。
Dickey-Fuller测试
无效假设：时间序列有单位根
我们假设有一个线性趋势，所以∆Yt将有一个常数
如果φ不显著，时间序列就有单位根。 我们可以用φk∆Yt-k中更多的滞后期来增加检验方程。 或时间依赖性φtt，其中φt为漂移。
单位根
r25Y单位根
长期关系
像往常一样，将一个非平稳序列回归到另一个非平稳序列上，可以得到 极显著的系数。
如果是协整的长期关系
这个模型只有在产生平稳的ˆet时才有效，所以在r10Y 和r25Y 它只在长期均衡修正的情况下起作用，产生平稳的和均值回复 的残差。
线性回归拟合为 r10
我们的线性模型旨在获得ˆet，因此我们将差分实际的r10Y与拟合的rˆ10Y
ˆe t的平稳性检验
平稳的协整残差 ˆ e t
我们已经确认了残差的平稳性，因此根据Engle-Granger，确认了协整关系。
长期关系(协整)
ECM估计给出了
• 所关注的参数是向平衡状态的修正速度（1-α）。 它不可避免地很小，但对于协整关系的存在必须是显著的 。
- 我们在∆r10Y和∆r25Y之间有相当好的相关性。
均衡修正模型：双向的
摘要
• 这种不同期限的即期利率的演变情况是一种基础关系的情况。
• 因此，强加一个长期关系并使用Engle-Granger程序具有更大的统计能力。
• r10Y 和r25Y 系列都有一个单位根。
• 事实证明，通过对这些时间序列进行差分，单位根被取消了 ，得到了一个平稳的残差。
• 这意味着时间序列是协整的。
∆r10Y和∆r25Y的受限VECM
长期关系r25Y对r10Y的影响
线性模型r25Y = β r10Y + t的目的只是为了获得ˆet。
ˆet的平稳性检验
与线性回归的比较
∆r25Y和∆r10Y的简单差分之间的回归 之间的回归给出了一个最小方差关系，并表明协整在其中扮演了一个完全独立的角色。
