这篇文章讨论了自回归综合移动平均模型 (ARIMA) 和自回归条件异方差模型 (GARCH) 及其在股票市场预测中的应用。
介绍
一个 ARMA (AutoRegressive-Moving Average) 有两部分，AR(p)部分和MA(q)部分，表示如下
其中 L 是滞后算子，ϵi 是白噪声。它可以通过 Box-Jenkins method. 我们可能会使用 PACF 绘制识别 AR 滞后阶数 p，和 ACF 图以识别 MA 滞后阶数 q；或使用信息，例如 AIC 和 BIC 做模型选择。
ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) 是 ARMA 的拓展，通过为非平稳过程添加阶数为 d 的积分部分。
ARIMA是针对价格水平或收益率的，而GARCH（广义自回归条件异方差）则试图对波动率或收益率平方的聚类进行建模。它将ARMA项扩展到方差方面。
作为随机波动率模型的离散版本，GARCH也能捕捉到股票市场的厚尾效应。因此，将ARIMA和GARCH结合起来，预计在模拟股票价格时比单独一个模型更适合。在这篇文章中，我们将把它们应用于标普500指数的价格。
ARIMA
首先，众所周知，股票价格不是平稳的；而收益可能是平稳的。ADF单位根检验结果。
# 价格是已知的非平稳的；收益是平稳的
import adfuller
rsut = aduler(close)
prnt(f'ADF Satitic: {reslt[]}, pale: {rslt1]}') # null 假设：单位根存在；不能拒绝 null。
relt = adfler(histet)
prnt(f'ADF Statistic: {reut[0]}, pvaue: {rslt[1]}') # 拒绝单位根的空假设 ==> 平稳
收益序列的 ADF p 值为 0，拒绝单位根的原假设。因此，我们在 ARIMA(p, d, q) 中接受 d=1，下一步是识别滞后 p 和 q。ACF 和 PACF 图表明滞后最多 35 个工作日。如果我们按照图表进行拟合，将有太多参数无法拟合。一种解决方案是使用每周或每月图表。在这里，我们将最大滞后时间限制为 5 天，并使用 AIC 选择最佳模型。
for p in rage(6):
for q in rage(6):
ry:
mft = fit(disp=0)
ic[(p, q)] = fiaic
except:
pass
下一步是拟合模型并通过残差统计评估模型拟合。残差仍然显示出一些自相关，并且没有通过正态性检验。由于滞后阶数限制，这在某种程度上是预料之中的。
尽管如此，让我们继续最后一步并使用模型进行预测。下面比较了对测试集的收益率预测和实际收益率。
收益率预测以 0% 为中心，置信区间在 ±2% 之间。结果并不是特别令人印象深刻。毕竟，市场正在经历一个动荡的阶段，在预测时间窗口内甚至下跌了 6%。
GARCH
让我们看看加入GARCH效果是否会产生更好的结果。建模过程类似于ARIMA：首先识别滞后阶数；然后拟合模型并评估残差，最后如果模型令人满意，就用它来预测。
我们将 AR 滞后和 GARCH 滞后都限制为小于 5。结果最优阶为 (4,2,2)。
for l in rage(5):
for p in rage(1, 5):
for q in rage(1, 5):
try:
mdl = arch(is_et, man='ARX', vol='Garch', p=p, o=0, q=q, dist='Nomal')
fit(last_obs=spldat)
dc_ic[(l, p, q)] =aic
except:
pass
接下来让我们根据选择的最佳参数来拟合模型，如下所示。证实了均值模型是AR(4)，方差模型是GARCH(2, 2)。一些系数在统计上不显着。
最后但并非最不重要的是，预测区间从±4%下降到±3%，然后又反弹到±5%，这清楚地表明了模型的波动性集群。请注意，这里是单步滚动预测，应该比静态的多期预测要好。
趋势平稳和差分平稳
趋势平稳，即确定性趋势，具有确定性均值趋势。相反，差分平稳具有随机趋势。前者可以用OLS估计，后者需要先求差分。
考虑一个简单的过程
如果 φ<1，则过程是趋势平稳的；也就是说，如果我们减去趋势 at，则过程变得平稳。若φ=1，则差分平稳。将第二个方程代入第一个方程很容易看出随机性，并将方程改写为
