最近看到一个简单的问题，原本题目是简化一个乘法运算，使用到了分治的思想，题目是这样的，假设x和y是两个长度为n的二进制数，我们的目标时计算x和y的乘积。如果直接暴力做乘法时间复杂度为O(n^2)，而我们使用分治的方法，可以把x和y分为左、右两半，每一半为n/2位长。例如两个八位二进制数相乘，我们可以分x为xL，xR，yL，yR。那么x*y = （2^(n/2) xL + xR） * （2^(n/2) yL + yR） = 2^n xL * yL + 2^(n/2) (xL * yR + xR * yL) + xR * yR。这样需要做4个乘法（2的n次方直接用移位操作，所以不算乘法计算），不过每个乘法运算的复杂度却只有n/2，那么就是4 * （n/2 * n/2） = n^2，貌似复杂度完全没有减少啊！对，不过聪明的德国数学家高斯很早就发现，虽然两个乘法初看上去涉及4次实数乘法运算，但实际上却可以化简为3次实数乘法，你知道吗？自己试一下再看后面的答案哦~~
这个方法是德国数学家高斯发现的，他很早就发现虽然两个复数的乘法初看上去涉及4次实数乘法运算，但实际可以化简为3次实数乘法运算，我们先来看看高斯的发现，然后你就应该会明白上式如何化简为3次乘法了。
设两个复数a + bi，c + di。我们先来看三个辅助的量t1 = (a - b) * (c + d)，t2 = a * d，t3 = b * c。两个复数相乘的结果实部为a * c – b * d，虚部为a * d + b * c。而实部可以表示为t1 – t2 + t3，虚部可以表示为t2 + t3。这样就可以用三次乘法完成复数相乘了。其思想是用加减代替了乘法。
好了让我们再看看上面的4次乘法，如法炮制：f1 = 2^(n/2)（xL + xR） * （yL + yR），f2 = xL * yL，f3 = xR * yR。
则x * y = f1 – 2^(n/2) f2 + f2 - 2^(n/2) f3 + f3。
这样我们就只做了3次规模为n/2的乘法，即3/4*n^2，这样的结果还比较满意，也许你觉得这样的优化微不足道，但我们可以一直这么分下去，最后得到递推表达式：T(N) = 3T(n/2) + O（n）。当n趋于无穷大时你会发现时间复杂度降到了O（n^lg3），这已经非常可观了，高斯果然牛X。
