C语言用更相减损术求最大公约数，最小公倍数

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代码写注释 2022-05-20 13:43:12 ©著作权

文章标签 用更相减损术求最大公约数最小公倍数最大公约数最小公倍数九章算术 文章分类 C/C++ 后端开发

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更相减损术

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

出处

《九章算术》

用途

求最大公约数

作用

适用任何需要求最大公约数的场合

思想

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原文是：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

白话文译文：

（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

使用步骤

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。

若是，则用2约简；见例2

若不是则执行第二步。见例1

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法就是“更相减损”法。

简述为：

有两整数a和b：

① 若a>b，则a=a-b

② 若a<b，则b=b-a

③ 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数

④ 若a≠b，则再回去执行①

例如求27和15的最大公约数过程为：

27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )

12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )

6－3＝3( 3==3 )，多次重复辗转相减，(重复操作用循环) 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数。

先有个大概的了解，再结合代码，来细细体会。

C语言用更相减损术求最大公约数，最小公倍数_最小公倍数

#include<stdio.h> 
main()
{ int a,b,num1,num2;
  printf("请输入这两个数：");
  scanf("%d %d",&a,&b);
  num1=a,num2=b;//在判断之前先把a,b存放在num1,num2里，求最小公倍数 
  //  printf("a、b的最小公倍数为:%d",num1*num2/a);错在哪儿？错在最小公倍数的算法不知道 
  while(a!=b)/* a, b不相等，大数减小数，直到相等为止。*/ 
  {
  if(a>b)
  a-=b;
  else
  b-=a;
  }//a==b结束循环，根据更相减损术，若a==b,则a（或b）即为两数的最大公约数。
  printf("a、b的最大公约数为:%d\n",a);
  printf("a、b的最小公倍数为:%d",num1*num2/a);//最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数
}

知识小补丁：

求最小公倍数算法：

最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数

求最大公约数算法：

(1)辗转相除法

#include <stdio.h>
//程序分析：利用辗除法。
int main()
{   int a,b,num1,num2,temp;
    printf("please input two number:\n");
    scanf("%d%d",&num1,&num2);
    if(num1<num2)//比较大小，大做分母，小做分子
    {   temp = num1;//这是两个数比大小的经典算法
        num1 = num2;
        num2 = temp;
    }
    a = num1;//小者给a
    b = num2;//大者给b
    while(b!=0)/*利用辗除法，直到b为0为止*/
    {   temp = a%b;//这是重复取余的操作
        a=b;
        b=temp;
    }
    printf("公约数:%d\n",a);
    printf("公倍数:%d\n",num1*num2/a);
}