回溯算法也叫试探法,它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是:从一条路往前走,能进则进,不能进则退回来,换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为:
1、定义一个解空间,它包含问题的解。
2、利用适于搜索的方法组织解空间。
3、 以深度优先的方式搜索解空间,并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的,这是回溯算法的一个重要特性。
基本思想:回溯法在问题的解空间树中,按深度优先策略,从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时,先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含,则跳过对该(死)结点为根的子树的搜索,逐层向其祖先结点回溯;否则,进入该子树,继续按深度优先策略搜索
n皇后问题回溯法求解:
public class Queen { int QUEEN_COUNT = 8; //随便你定义几个皇后了,你可以循环产生a个到b个皇后的解 static final int EMPTY = 0; //如果count[x][y] == EMPTY ,则可以放置皇后;反之,其正上方或斜上方必己放置皇后 int[][] count = new int[QUEEN_COUNT][QUEEN_COUNT]; // int[] QueenIndex = new int[QUEEN_COUNT]; //第index行的皇后放置位置是QueenIndex [index] int resultCount = 0; //记录皇后放置方法的数量 public void putQueenIndex(int index) { int row = index; for (int col = 0; col < QUEEN_COUNT; col++) { if (count[row][col] == EMPTY) { //该位置可以放置皇后 for (int iRow = row+ 1; iRow < QUEEN_COUNT; iRow++) { //增加该位置的正下面/斜下面的count,使之不为0 count[iRow][col]++; if ((col - iRow + row) >= 0) { count[iRow][col - iRow + row]++; } if ((col + iRow - row) < QUEEN_COUNT) { count[iRow][col + iRow - row]++; } } QueenIndex[row] = col; if (row == QUEEN_COUNT - 1) { //第QUEEN_COUNT个皇后己放置好,打印出这种皇后布局 print(++resultCount); } else { //继续放置下一行的皇后 putQueenIndex(row + 1); } for (int iRow = row+ 1; iRow < QUEEN_COUNT; iRow++) { //回溯,在此行的皇后不放此列col ,恢复该位置的正下面/斜下面的count count[iRow][col]--; if ((col - iRow + row) >= 0) { count[iRow][col - iRow + row]--; } if ((col + iRow - row) < QUEEN_COUNT) { count[iRow][col + iRow - row]--; } } } } if (row == 0) { System.out.println(QUEEN_COUNT + "皇后共有 " + resultCount + " 个解"); } } public void print(int n) { //打印皇后布局 System.out.println(QUEEN_COUNT + "皇后的第 " + n + " 个解:"); for (int i = 0; i < QUEEN_COUNT; i++) { for (int j = 0; j < QUEEN_COUNT; j++) { System.out.print(QueenIndex[i] == j ? " * " : " - "); } System.out.println(); } System.out.println(); } public static void main(String[] args) { new Queen().putQueenIndex(0); } }
代码运行结果:
回溯法求解的一般模式(n皇后)
void Trial(int i,int n){ if(i>n) 输出棋盘的当前布局;//合法布局 else for(j=1;j<=n;++j){ 在第i行j列放置一枚棋子; if(当前布局合法) Trial(i+1,n); 移走第i行j列的棋子; } }
更普遍的,用递归函数来实现回溯法:
void Backtrack(int t){ if(t>n) Output(x);//搜索到叶节点,输出得到的可行解(t表示递归深度) else //f、g分别表示在当前扩展结点处未搜索过的子树的起始编号和终止编号 for(int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++){ x[t]=h(i);//h(i)表示在当前扩展结点处x[t]的第i个可选值 if(Constraint(t)&&Bound(t)) Backtrack(n+1); //Constraint(t)和Bound(t)分别表示当前扩展结点处的约束函数和限界函数,不满足条件时,须剪枝 } }