问题描述
给定一组整数序列,求出这组序列和中的最大值，不要求求出最大的子序列。
例如：
序列：-2 11 -4 13 -5 -2，则最大子序列和为20。
序列：-6 2 4 -7 5 3 2 -1 6 -9 10 -2，则最大子序列和为16算法一
使用穷举法，代码如下：
package com.kiritor; /** * 使用穷举法就最大子序列问题 * 时间复杂度为O(N^3) * @author Kiritor*/ public class MaxSub { public static int maxSub(int a[]) { int maxSum=0; for(int i=0;i<a.length;i++) for(int j=i;j<a.length;j++) { int sum = 0; for(int k=i;k<=j;k++) { sum+=a[k]; } if(maxSum < sum) maxSum = sum; } return maxSum; } } 显然这不是一个有效且合理的算法，算法的时间复杂度为O(N^3)，仔细思考就可以发现该 算法对于一些中间结果并未加以利用。例如：当i=0，j=3时计算了sum=a[0]~a[4]，但是当i=0,
j=4的时候计算sum的时候没有将a[0]~a[3]这一结果利用起来，而是重新再计算了一次，显然
做了一些无用功。
基于此算法进行改进，减少一重循环
算法二
对中间结果加以利用，降低算法的时间复杂度
package com.kiritor; /** * 对前面计算的结果加以利用 * 减去一层循环 * 时间复杂度降为O(N^2) * @author Kiritor */ public class MaxSub { public static int maxSub(int a[]) { int maxSum = 0; for (int i = 0; i < a.length; i++) { int sum = 0; for (int j = i; j < a.length; j++) { sum += a[j]; if (maxSum < sum) maxSum = sum; } } return maxSum; } } 算法三
对于这个问题我们可以使用分治的思想+递归来求解它，其时间复杂度就降低为O(NlogN)了
其主要的思想就是：
1、分解(分)：将原问题分解为若干个规模较小，相对独立，与原问题形式相同的子问题
2、解决：若子问题规模较小则直接解决，否则递归解决个子问题
3、合并(治)：将各子问题的解合并为原问题的解。
代码部分：
package com.kiritor; /** * 分治+递归的思想求解 * 时间复杂度降为O(NlogN) * @author Kiritor */ public class MaxSub { public int maxSub(int[] a,int left,int right) { if(left==right) if(a[left]>0) return a[left]; else return 0; int center = (left+right)/2;//分解 int maxLeftSum= maxSub(a,left,center);//左边递归 int maxRightSum = maxSub(a,center+1,right);//右边递归 //处理中间包含center左右边界的最大和情况 int maxLeftBorderSum = 0,leftBoderSum = 0; for(int i=center;i>=left;i--) { leftBoderSum +=a[i]; if(maxLeftBorderSum<leftBoderSum) maxLeftBorderSum = leftBoderSum; } int maxRighttBorderSum = 0,rightBoderSum = 0; for(int i=center+1;i<=right;i++) { rightBoderSum +=a[i]; if(maxRighttBorderSum<rightBoderSum) maxRighttBorderSum = rightBoderSum; } //问题合并(治) return max(maxLeftSum,maxLeftBorderSum+maxRighttBorderSum,maxRightSum); } //可变参数的使用，jdk1.5及以上 public int max(int ...args) { int max=args[0]; for(int i=1;i<args.length;i++) if(max<args[i]) max= args[i]; return max; } } Tisp:需要注意的是子问题之间是不包含公共的子问题的。
算法四
最后提供一种比较“聪明”的算法，其时间复杂度为O(N)，它只对数据进行一次扫描。/**线性时间，复杂度为O(N)*/ public int maxSubLinear(int[] a) { int sum = 0,maxSum =0; for(int i=0;i<a.length;i++) { sum +=a[i]; if(sum>maxSum) maxSum =sum; else if(sum<0) sum = 0;//如果sum<0,就没有必要将前面的序列继续代入了，将sum=0 } return 0; }
