2013年的某个下午，某老师再一次提到哈夫曼编码的问题，而我也再一次想到如何证明哈夫曼编码正确性的问题，我想啦又想，想出来一半，查阅资料后一切OK啊！现总结一下，如果有错误呢，请您温柔的指出来。
先看个实际问题，比如有 A ，B， C， D 4个字母，现在要用它们发送信息，首先就要对它们进行二进制编码，而它们在信息中出现的频度分别为0.5，0.1,0.2,0.2，问：我们应该怎样编码，使得发送的数据量是最小的。
我们把问题转换一下，其实问题就是求构造一颗带权的二叉树，使得各个叶子节点的深度乘以权的和f为最小值。首先假设M是最优的的那颗二叉树，总共有{A,B,C….}n个叶子节点，对应的权为{a,b,c….}，F（A,B,C…..）为各个叶子节点的深度乘以权的和为最小值的最优解。
A，B是其中最深的节点，假设它们的权值是所有的权中最小的和第二小的。如果不是，我们可以把C和A对换，显然此时的f会增大a-c,同理我们证得B为第二小。当然我们可能会脑子一热想，为什么A的兄弟就一定是叶子节点呢？ 显然如果不是的话，它便不是深度最大啦。
然后我们把AB节点向上合并成AB节点得到树N，此时有等式
F（A,B,C…）=a+b+f(N)
看到这里你是否会想到很像动态规划，或者是贪心法里的最优子结构呢？？？
那f（n）是不是以节点{AB,C…}，权为{a+b,c….}的最优解F（AB,C…）呢？
答案是肯定的！
如果不是的话，则我们取最优解F（AB,C…）的树结构Y，把其中的AB节点点向下分出两个权为a和b的子节点，显然这样的一颗树是原问题的一个解，而且值为a+b+F（AB,C）小于
a+b+f(N)，则F（A,B,C…）不是最优解，矛盾！！！ 所以f（n）是不是以节点（AB,C…），权为{a+b,c….}的最优解F（AB,C…）。
最后我们可以反复用这两个结论，合并最小的的两个节点，再把两个最小节点的和加入剩下的节点中重复操作，是不是就是和霍夫曼编码的步骤完全吻合呢？
通读下我发现，偶的第一篇博文写的实在不咋地，将就下哈。。。
