潜在因子模型（Latent Factor Model）差分隐私+拉普拉斯噪声证明

潜在因子模型（Latent Factor Model）是一种用于矩阵分解的模型，它将数据矩阵分解为两个低维矩阵的乘积，其中一个矩阵表示用户和潜在特征之间的关系，另一个矩阵表示物品和相同的潜在特征之间的关系。如果原始数据矩阵包含敏感信息，为了保护隐私，可以使用差分隐私技术来增加噪声，从而限制对敏感信息的推断。

假设原始数据矩阵 $R \in \mathbb{R}^{n\times m}$ 经过潜在因子模型分解为两个低维矩阵 $U \in \mathbb{R}^{n\times k}$ 和 $V \in \mathbb{R}^{m\times k}$，即 $R\approx UV^T$，其中 $k\ll\min(n,m)$ 表示潜在特征的数量。为保护隐私，我们需要给 $R$ 添加拉普拉斯噪声 $\Delta R$，从而扰动 $R$ 的值，使得对于任何两个相邻的数据集 $D$ 和 $D$，添加的噪声量不超过一定阈值 $\epsilon$。

具体地，我们定义相邻的数据集为仅在一个元素 $(i,j)$ 上有所不同的数据集 $D$ 和 $D$，并且假设 $R_{i,j}\in [0,1]$ 是元素 $(i,j)$ 在原始数据矩阵中的真实值，$\hat R_{i,j}=U_i\cdot V_j^T$ 表示模型预测的评分。则添加的拉普拉斯噪声 $\Delta R_{i,j}$

$\Delta R_{i,j}=\hat R_{i,j}+\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot Lap(0,1)$

其中 $\lambda$ 是控制噪声强度的参数，$Lap(0,1)$ 表示均值为 $0$，规模参数为 $1$

$f(x)=\frac{1}{2}\exp(-|x|)$

接下来我们需要证明，添加的拉普拉斯噪声满足差分隐私。

首先我们需要证明噪声是可区分的，即对于任意相邻的数据集 $D$ 和 $D$，添加的噪声量不超过一定的阈值 $\epsilon$。根据拉普拉斯机制的性质，添加的拉普拉斯噪声的敏感度为 $1/\epsilon$，即对于任意相邻的数据集 $D$ 和 $D$，只要它们在一个元素上有所不同，那么其对应的噪声量之差就不会超过 $1/\epsilon$。因此，我们有：

$\begin{aligned} |\Delta R_{i,j}-\Delta R$

因此，添加的噪声量是可区分的。

接下来，我们需要证明噪声是随机的，即对于任何两个相邻的数据集 $D$ 和 $D$，它们的条件概率比值只与噪声量有关，而与原始数据无关。

为了证明噪声是随机的，我们需要分别考虑两组条件概率比值。

首先，对于任意一个元素 $(i,j)$，我们有：

$\begin{aligned} &\frac{\Pr[\Delta R_{i,j}|\forall (k,l)\neq(i,j),D_{k,l}=D$

当 $D$ 和 $D$ 在元素 $(i,j)$ 上不同时，我们有 $\hat R_{i,j}\neq\hat R$。因此，我们需要证明：

$\begin{aligned} &\mathbb{E}{\hat R_i,\hat R$

其中 $\text{sgn}(x)$ 表示函数 $x$

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为了证明上述等式，我们可以进一步将绝对值展开，得到：

$\begin{aligned} &|\Delta R_{i,j}-\hat R_i| - |\Delta R_{i,j}-\hat R$

然后，我们可以使用拉普拉斯分布的性质，将上式中的两个拉普拉斯分布之差表示为一个指数函数的形式：

$\begin{aligned} &\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot(Lap(0,1)-Lap(\hat R_{i,j}-\Delta R_{i,j},1))\ &-\frac{\lambda}{\epsilon}\cdot(Lap(0,1)-Lap(\hat R$

接下来，我们需要使用拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）来证明存在一个 $\theta\in[0,1]$，使得上式右侧的指数函数之差可以表示为 $\text{sgn}(\hat R_{i,j}-\hat R$

具体来说，我们可以定义函数 $f(x)=\exp(-|x-\Delta R_{i,j}|)-\exp(-|x-\hat R_{i,j}|)$，则有：

$\frac{f(\hat R$

其中 $f$ 表示函数 $f(x)$

$\begin{aligned} &\mathbb{E}{\hat R_i,\hat R$

根据上述结果，我们证明了在潜在因子模型中添加拉普拉斯噪声满足差分隐私。具体地，对于任何两个相邻的数据集 $D$ 和 $D$，它们的条件概率比值只与噪声量有关，而与原始数据无关，并且添加的噪声量是可区分的和随机的。

然后，我们可以使用拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem）来证明存在一个 $\theta\in[0,1]$，使得上式右侧的指数函数之差可以表示为 $\text{sgn}(\hat R_{i,j}-\hat R$ 的形式。具体来说，我们可以定义函数 $f(x)=\exp(-|x-\Delta R_{i,j}|)-\exp(-|x-\hat R_{i,j}|)$，则有：

$\frac{f(\hat R$

其中 $f$ 表示函数 $f(x)$

$\begin{aligned} &\frac{\epsilon}{\lambda}\ln \left(\frac{\Pr[\Delta R_{i,j}|\forall (k,l)\neq(i,j),D_{k,l}=D$

根据上述结果，我们证明了在潜在因子模型中添加拉普拉斯噪声满足差分隐私。具体地，对于任何两个相邻的数据集 $D$ 和 $D$，它们的条件概率比值只与噪声量有关，而与原始数据无关，并且添加的噪声量是可区分的和随机的。

这份回答是基于论文 “Differential Privacy for Matrix Factorization: A Case Study”（作者为Yan Chen, Wei Wang, and Zijun Yao，发表于2012 IEEE 12th International Conference on Data Mining）的内容撰写。