上确界（supremum）是指一个集合中所有元素的最小上界，并不一定是集合中的最大值。如果集合中存在最大值，那么上确界和最大值是一样的；如果没有最大值，上确界是最接近的那个值。
一个经典的例子是实数集合中开区间的情况。
考虑集合 ( S = (0, 1) )，也就是所有大于 0 小于 1 的实数。这个集合是开区间，包含了所有介于 0 和 1 之间的实数，但不包含 0 和 1。
- 上界：任何大于等于 1 的实数都是集合 ( S ) 的上界。例如，1 是 ( S ) 的一个上界，因为 ( S ) 中的所有元素都小于 1。
- 最小上界（上确界）：在这些上界中，1 是最小的上界，因此 1 是 ( S ) 的上确界。
在这个例子中：
- 上确界：1
- 最大值：( S ) 中没有最大值，因为 ( S ) 中的元素可以无限接近 1 但永远不会等于 1。
因此，尽管集合 ( S ) 的上确界是 1，但 ( S ) 中没有 1 这个最大值。
