- 下确界:infimum,简写为 inf(注意和 infinity(无穷)的区别),最大下界,floor:地板的顶;
- 上确界:supremum,最小上界,ceiling:天花板的底;
0. (集合)最大数最小数
- 集合 B={x∣∣0≤x<1} 中没有最大值。
采用反证法的形式进行证明,设 β 为该集合的最大值,令 β′=1+β2(构造性证明),显然 β′∈B,且 β′>β,这与 β 是集合 B 的最大值相矛盾。
1. 举例体会
- 上确界与最大值的区别
x∈R,x<2 ⇒ 2 是集合 x 的上确界,但 x 却不存在一个确定的最大值;
2. 上下界与上下确界
- 设非空集合 E∈R,如果有实数 L 使得 x≤L,∀x∈E(即 E 中所有元素均小于等于 x),则称 L 为 E 的一个上界。如果有实数 ℓ 使得 x≥ℓ,∀x∈E,则称 ℓ 为 E 的一个下界;
- 对于非空集合 E 属于 R,其最小上界称为 E 的上确界,以 supE 表示;最大下界称为 E 的下确界,以 infE 表示。
- 确界是建立在最大最小数的基础上定义的;
- 上确界,上界集合的最小数;
- 下确界,下界集合的最大数;
上确界,上界集合存在的最小数。上界集合存在最小数需要证明,令其上确界为 β,则 β 需满足,
- 是上界:∀x∈S ⇒ x≤β
- 是上界集合的最小数,∀ϵ>0,所以 β−ϵ 不再是上界,因此 ∃x ⇒ x>β−ϵ
- 由以上进一步可知,x≤β<x+ϵ
确界存在定理,也叫实数系连续定理,非空有上界的数集必有上确界,非空有下界的数集必有下确界。
3. 性质
Let A,B⊆R and suppose the infima and suprema of these sets exist. Define λA={λx:x∈A}, A+B={x+y:x∈A, y∈B}, and AB={xy:x∈A, y∈B}.
- p=infA if and only if for every ϵ>0 there is an x∈A with x<p+ϵ, and x≥p for every x∈A.