谓词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法的扩张。因为谓词演算的很多等价式和蕴涵式，是命题演算有关公式的推广，所以命题演算中的推理规则，如P，T和CP规则等亦可在谓词的推理理论中，某些前提与结论可能受量词限制的，为了使用这些等价式和蕴涵式，必须在推理过程中有消去和添加量词的规则，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算中推理理论那样进行。现介绍如下规则。
（1） 全称指定规则，它表示为US（ "-消除规则 ）
全称消除定理 对任意公式A，变元x，若þ"xa，则þa 。记为：
全称指定规则us（ "-消除规则 ）示例
例题1 证明（"x）（h（x）®m(x)）ù h（s）þ m（s）这是著名的苏格拉底论证。
其中 h（x）：x是一个人。
m（x）：x是要死的。
s: 苏格拉底。
证明（1）（"x）（h（x）®m(x)） p
（2）h（s）® us（1）
（3）h（s） p
（4）m（s） t（2）（3）i
见p-77页例题1的第（2）步。
例题2 证明 （"x）（c（x）®w(x) ù r（x））ù($c)(c(x)ùq(x))
þ($c)(q(x)ùr(x)
证明（1）（"x）（c（x）®w(x) ù p
（2）($c)(c(x)ùq(x)) p
（3）c(a)ù es(2)
(4) c(a)® w(a)ù us(1)
t(3)i
(6) w(a)ùr(a) t(4)(5)i
(7) q(a) t(3)i
t(6)
(9) q(a)ù t(7)(8)i
(10) ($c)(q(x)ùr(x)) eg
见p-77页例题2的第（4）步。
见p-77页例题3的第（8）步、第（12）步，等等。
例题3 证明 （"x）(p(x)úq（x）)þ（"x）p(x)ú （$x）q(x)
证法1把ù(（"x）p(x)ú （$x）q（x）)作为附加前提
（1）ù(（"x）p(x)ú （$x）q（x）) p
（2）ù（"x）p(x)úù （$x）q（x） t（1）i
（3）ù（"x）p(x) t（2）i
（4）（$x）ùp(x) t（3）i
（5）ù（$x）q（x） t（2）i
（6）（"x）ùq(x) t（5）i
（7）ùp(c) es(4)
(8) ùq(c) us(4)
(9) ùp(c)ù ùq(c) t(7)(8)i
(10) ù(p(c)ù t(9)e
(11) （"x）p(x)ú p
(12) p(c)ú us
(13) ù(p(c)ú q(c))ù( p(c)ú q(c)) t(10)(12)i矛盾
证法2 本题可用cp规则，原题为
（"x）(p(x)úq（x）)þ ù（"x）p(x)®（$x）q（x）
（1）ù（"x）p(x) p（附加前提）
（2）（$x）ùp(x) t（1）e
（3）ùp(c) p
（4）（"x）(p(x)úq（x）) p
（5）p(c)ú us（4）
t（3）（5）i
（7）（$x）q(x) eg（6）
（8）ù（"x）p(x) ®（$x）q（x） gp
例题4 任何人违反交通规则，则要受到罚款，因此，如果没有罚款，则没有人违反交通规则。
解 “x违反y。” x的论域为”人”。
m（y）:
p(z):
r(x,z): “x受到z。”
故假设与结论可符号化地表示为：
h：（"x）（（$y）(s(x,y)ù m（y）)® （$z）(p(z)ù r(x,z))）
c: ù（$z）p(z)® （"x）（"y）(s(x,y)® ùm（y）)
因为结论是条件式，故我们可用cp规则进行推理，下面推导是否严格？
（1）（"x）（（$y）(s(x,y)ù m（y）)® （$z）(p(z)ù p
（2）（$y）(s(b,y)ù m（y）) ® （$z）(p(z)ù us(1)
(3) ù（$z）p(z) p(附加前提)
(4) （"z）ùp(z)
(5) ùp(a) us(4)
(6) ùp(a)ú ùr(b,a) t(5)i
(7) （z）(ùp(z)úù ug(6)
(8) ù（$z）(p(z)ù t(ù)e
(9) ù（$y）(s(b,y) ù ùm（y） t(2)(8)i
(10)（"y）(ùs(b,y) ú ùm（y）) t(2)e
(11) （"y）(s(b,y) ® ùm（y）) t(10)e
(12) （"x）（"y）(s(x,y)® ùm（y）) ug(11)
(13) ù（$z）p(z) ®（"x）（"y）(s(x,y)® cp
（2）全称推广规则ug（ "-引入规则）
全称引入定理 对任意公式a，变元x，若þ a，则þ "x a。记为：
全称引入定理‘ 对任何公式集 g，公式a和变元x，x不是 g 中任一公式的自由变元，那么，若 g þ a，则g þ "x a。
全称推广规则ug（ "-引入规则）示例
见p-78页例题4的第（7）步、第（12）步。
（3）存在指定规则es（ $-消除规则 ）
存在消除定理设a，变元x是公式a的自由变元，那么当，þ$ax成立时，应有ta 。记为：
存在消除定理’ 设a，b为任意公式，变元x是公式a、但不是公式b的自由变元，那么当，þ$x a(x), a(x)þ b同时成立时，应有þ b 。记为：
存在消除定理“ 设 ga，b为任意公式，变元x是a的自由变元，但不是 g 中任一公式的自由变元那么当 g þ $x a(x) ，g {è a(x) } þ b同时成立时，应有g þ b 。
存在指定规则es（ $-消除规则 ）示例
见p-77页例题2的第（3）步。
见p-77页例题3的第（7）步。
见p-77页例题3证法2中的第（3）步。
（4）存在推广规则eg（ $-引入规则 ）
存在推广规则eg（ $-引入规则 ）示例
见p-77页例题2的第（10）步。
见p-77页例题3证法2中的第（7）步。
谓词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法的扩张。因为谓词演算的很多等价式和蕴涵式，是命题演算有关公式的推广，所以命题演算中的推理规则，如p，t和cp规则等亦可在谓词的推理理论中，某些前提与结论可能受量词限制的，为了使用这些等价式和蕴涵式，必须在推理过程中有消去和添加量词的规则，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算中推理理论那样进行。现介绍如下规则。
（1） 全称指定规则，它表示为us（ "-消除规则 ）
全称消除定理 对任意公式a，变元x，若þ"xa，则þa 。记为：
全称指定规则us（ "-消除规则 ）示例
例题1 证明（"x）（h（x）®m(x)）ù h（s）þ m（s）这是著名的苏格拉底论证。
其中 h（x）：x是一个人。
m（x）：x是要死的。
s: 苏格拉底。
证明（1）（"x）（h（x）®m(x)） p
（2）h（s）® us（1）
（3）h（s） p
（4）m（s） t（2）（3）i
见p-77页例题1的第（2）步。
例题2 证明 （"x）（c（x）®w(x) ù r（x））ù($c)(c(x)ùq(x))
þ($c)(q(x)ùr(x)
证明（1）（"x）（c（x）®w(x) ù p
（2）($c)(c(x)ùq(x)) p
（3）c(a)ù es(2)
(4) c(a)® w(a)ù us(1)
t(3)i
(6) w(a)ùr(a) t(4)(5)i
(7) q(a) t(3)i
t(6)
(9) q(a)ù t(7)(8)i
(10) ($c)(q(x)ùr(x)) eg
见p-77页例题2的第（4）步。
见p-77页例题3的第（8）步、第（12）步，等等。
例题3 证明 （"x）(p(x)úq（x）)þ（"x）p(x)ú （$x）q(x)
证法1把ù(（"x）p(x)ú （$x）q（x）)作为附加前提
（1）ù(（"x）p(x)ú （$x）q（x）) p
（2）ù（"x）p(x)úù （$x）q（x） t（1）i
（3）ù（"x）p(x) t（2）i
（4）（$x）ùp(x) t（3）i
（5）ù（$x）q（x） t（2）i
（6）（"x）ùq(x) t（5）i
（7）ùp(c) es(4)
(8) ùq(c) us(4)
(9) ùp(c)ù ùq(c) t(7)(8)i
(10) ù(p(c)ù t(9)e
(11) （"x）p(x)ú p
(12) p(c)ú us
(13) ù(p(c)ú q(c))ù( p(c)ú q(c)) t(10)(12)i矛盾
证法2 本题可用cp规则，原题为
（"x）(p(x)úq（x）)þ ù（"x）p(x)®（$x）q（x）
（1）ù（"x）p(x) p（附加前提）
（2）（$x）ùp(x) t（1）e
（3）ùp(c) p
（4）（"x）(p(x)úq（x）) p
（5）p(c)ú us（4）
t（3）（5）i
（7）（$x）q(x) eg（6）
（8）ù（"x）p(x) ®（$x）q（x） gp
例题4 任何人违反交通规则，则要受到罚款，因此，如果没有罚款，则没有人违反交通规则。
解 “x违反y。” x的论域为”人”。
m（y）:
p(z):
r(x,z): “x受到z。”
故假设与结论可符号化地表示为：
h：（"x）（（$y）(s(x,y)ù m（y）)® （$z）(p(z)ù r(x,z))）
c: ù（$z）p(z)® （"x）（"y）(s(x,y)® ùm（y）)
因为结论是条件式，故我们可用cp规则进行推理，下面推导是否严格？
（1）（"x）（（$y）(s(x,y)ù m（y）)® （$z）(p(z)ù p
（2）（$y）(s(b,y)ù m（y）) ® （$z）(p(z)ù us(1)
(3) ù（$z）p(z) p(附加前提)
(4) （"z）ùp(z)
(5) ùp(a) us(4)
(6) ùp(a)ú ùr(b,a) t(5)i
(7) （z）(ùp(z)úù ug(6)
(8) ù（$z）(p(z)ù t(ù)e
(9) ù（$y）(s(b,y) ù ùm（y） t(2)(8)i
(10)（"y）(ùs(b,y) ú ùm（y）) t(2)e
(11) （"y）(s(b,y) ® ùm（y）) t(10)e
(12) （"x）（"y）(s(x,y)® ùm（y）) ug(11)
(13) ù（$z）p(z) ®（"x）（"y）(s(x,y)® cp
（2）全称推广规则ug（ "-引入规则）
全称引入定理 对任意公式a，变元x，若þ a，则þ "x a。记为：
全称引入定理‘ 对任何公式集 g，公式a和变元x，x不是 g 中任一公式的自由变元，那么，若 g þ a，则g þ "x a。
全称推广规则ug（ "-引入规则）示例
见p-78页例题4的第（7）步、第（12）步。
（3）存在指定规则es（ $-消除规则 ）
存在消除定理设a，变元x是公式a的自由变元，那么当，þ$ax成立时，应有ta 。记为：
存在消除定理’ 设a，b为任意公式，变元x是公式a、但不是公式b的自由变元，那么当，þ$x a(x), a(x)þ b同时成立时，应有þ b 。记为：
存在消除定理“ 设 ga，b为任意公式，变元x是a的自由变元，但不是 g 中任一公式的自由变元那么当 g þ $x a(x) ，g {è a(x) } þ b同时成立时，应有g þ b 。
存在指定规则es（ $-消除规则 ）示例
见p-77页例题2的第（3）步。
见p-77页例题3的第（7）步。
见p-77页例题3证法2中的第（3）步。
（4）存在推广规则eg（ $-引入规则 ）
存在推广规则eg（ $-引入规则 ）示例
见p-77页例题2的第（10）步。
见p-77页例题3证法2中的第（7）步。
