海明码是一种具有纠错功能的校验码。本文简单地介绍海明码的计算方法。
海明码的目的是能够纠正一位误码。假设信息码共有 n 位，海明码共有 h 位，那么总共的码长为 n + h 位。为能检测出 n + h 位编码中其中一位的错误，海明码必须能够表示至少 n + h + 1 种状态，其中 n + h 种表示 n + h 位编码中有一位错误，另外还需要一种来表示整个编码正确无误。则海明码的长度需要满足下列关系：
2 h >= n + h + 1
于是根据这个式子我们可以得出以下的关系表：
海明码的插入位置顺序为：An=2(n-1)方
以 4 位信息位为例，由上表可以看出需要的海明码长度为 3。
设信息位为 x4x3x2x1，添加的 3 位海明码为 a3a2a1，信息码和海明码组合之后得到的码为
a1 a2 x1 a3 x2 x3 x4
海明码是一种具有纠错功能的校验码。本文简单地介绍海明码的计算方法。
海明码的目的是能够纠正一位误码。假设信息码共有 n 位，海明码共有 h 位，那么总共的码长为 n + h 位。为能检测出 n + h 位编码中其中一位的错误，海明码必须能够表示至少 n + h + 1 种状态，其中 n + h 种表示 n + h 位编码中有一位错误，另外还需要一种来表示整个编码正确无误。则海明码的长度需要满足下列关系：
2 h >= n + h + 1
于是根据这个式子我们可以得出以下的关系表：
| h | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| n | 1 | 2~4 | 5~11 | 12~26 | 27~57 | 58~120 | 121~247 |
以 4 位信息位为例，由上表可以看出需要的海明码长度为 3。
设信息位为 x4x3x2x1，添加的 3 位海明码为 a3a2a1，信息码和海明码组合之后得到的码为 H7H6H5H4H3H2H1。
| 错误 | 无 | H1 | H2 | H3 | H4 | H5 | H6 | H7 | |
| C1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = 0 |
| C2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = 0 |
| C3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = 0 |
如上表，在H1～H7中添加的 3 位海明码使得 C1～C3 的值为零。其中C1～C3为校验和。这样当 Hn 传输出错时，有 (C3C2C1)2 = n。
令 H1 = a1, H2 = a2, H4 = a3,
则得出
则得出
H7H6H5H4H3H2H1 = x4x3x2a3x1a2a1
将上面的关系代入C1～C3的计算公式，得到
C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = a1 + x1 + x2 + x4 = 0
C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = a2 + x1 + x3 + x4 = 0
C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = a3 + x2 + x3 + x4 = 0
C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = a1 + x1 + x2 + x4 = 0
C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = a2 + x1 + x3 + x4 = 0
C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = a3 + x2 + x3 + x4 = 0
即
a1 + x1 + x2 + x4 = 0
a2 + x1 + x3 + x4 = 0
a3 + x2 + x3 + x4 = 0
a1 + x1 + x2 + x4 = 0
a2 + x1 + x3 + x4 = 0
a3 + x2 + x3 + x4 = 0
即
a3 = x4 + x3 + x2
a2 = x4 + x3 + x1
a1 = x4 + x2 + x1
a3 = x4 + x3 + x2
a2 = x4 + x3 + x1
a1 = x4 + x2 + x1
仔细读读下面的文字也许你就明白了：呵呵
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
码字(Code Word) 按如下方法构建：
1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)
2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)
…
如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0.
举例说明：
一个字节的数据：10011010
构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):
位置1检查1,3,5,7,9,11:
? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置2检查2,3,6,7,10,11:
0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置4检查4,5,6,7,12:
0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置8检查8,9,10,11,12:
0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
因此码字为: 011100101010.
查找并纠错一位错误
上例中构建了一个码字 011100101010，假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位，可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来，对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置
海明码是一种具有纠错功能的校验码。本文简单地介绍海明码的计算方法。
海明码的目的是能够纠正一位误码。假设信息码共有 n 位，海明码共有 h 位，那么总共的码长为 n + h 位。为能检测出 n + h 位编码中其中一位的错误，海明码必须能够表示至少 n + h + 1 种状态，其中 n + h 种表示 n + h 位编码中有一位错误，另外还需要一种来表示整个编码正确无误。则海明码的长度需要满足下列关系：
2 h >= n + h + 1
于是根据这个式子我们可以得出以下的关系表：
| h | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| n | 1 | 2~4 | 5~11 | 12~26 | 27~57 | 58~120 | 121~247 |
以 4 位信息位为例，由上表可以看出需要的海明码长度为 3。
设信息位为 x4x3x2x1，添加的 3 位海明码为 a3a2a1，信息码和海明码组合之后得到的码为 H7H6H5H4H3H2H1。
| 错误 | 无 | H1 | H2 | H3 | H4 | H5 | H6 | H7 | |
| C1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = 0 |
| C2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = 0 |
| C3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = 0 |
如上表，在H1～H7中添加的 3 位海明码使得 C1～C3 的值为零。其中C1～C3为校验和。这样当 Hn 传输出错时，有 (C3C2C1)2 = n。
令 H1 = a1, H2 = a2, H4 = a3,
则得出
则得出
H7H6H5H4H3H2H1 = x4x3x2a3x1a2a1
将上面的关系代入C1～C3的计算公式，得到
C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = a1 + x1 + x2 + x4 = 0
C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = a2 + x1 + x3 + x4 = 0
C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = a3 + x2 + x3 + x4 = 0
C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = a1 + x1 + x2 + x4 = 0
C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = a2 + x1 + x3 + x4 = 0
C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = a3 + x2 + x3 + x4 = 0
即
a1 + x1 + x2 + x4 = 0
a2 + x1 + x3 + x4 = 0
a3 + x2 + x3 + x4 = 0
a1 + x1 + x2 + x4 = 0
a2 + x1 + x3 + x4 = 0
a3 + x2 + x3 + x4 = 0
即
a3 = x4 + x3 + x2
a2 = x4 + x3 + x1
a1 = x4 + x2 + x1
a3 = x4 + x3 + x2
a2 = x4 + x3 + x1
a1 = x4 + x2 + x1
仔细读读下面的文字也许你就明白了：呵呵
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
码字(Code Word) 按如下方法构建：
1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)
2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)
…
如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0.
举例说明：
一个字节的数据：10011010
构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):
位置1检查1,3,5,7,9,11:
? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置2检查2,3,6,7,10,11:
0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置4检查4,5,6,7,12:
0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置8检查8,9,10,11,12:
0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
因此码字为: 011100101010.
查找并纠错一位错误
上例中构建了一个码字 011100101010，假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位，可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来，对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置
| 错误 | 无 | H1 | H2 | H3 | H4 | H5 | H6 | H7 | |
| C1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = 0 |
| C2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = 0 |
| C3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = 0 |
如上表，在H1～H7中添加的 3 位海明码使得 C1～C3 的值为零。其中C1～C3为校验和。这样当 Hn 传输出错时，有 (C3C2C1)2 = n。
令 H1 = a1, H2 = a2, H4 = a3,
则得出
则得出
H7H6H5H4H3H2H1 = x4x3x2a3x1a2a1
将上面的关系代入C1～C3的计算公式，得到
C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = a1 + x1 + x2 + x4 = 0
C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = a2 + x1 + x3 + x4 = 0
C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = a3 + x2 + x3 + x4 = 0
C1 = H1 + H3 + H5 + H7 = a1 + x1 + x2 + x4 = 0
C2 = H2 + H3 + H6 + H7 = a2 + x1 + x3 + x4 = 0
C3 = H4 + H5 + H6 + H7 = a3 + x2 + x3 + x4 = 0
即
a1 + x1 + x2 + x4 = 0
a2 + x1 + x3 + x4 = 0
a3 + x2 + x3 + x4 = 0
a1 + x1 + x2 + x4 = 0
a2 + x1 + x3 + x4 = 0
a3 + x2 + x3 + x4 = 0
即
a3 = x4 + x3 + x2
a2 = x4 + x3 + x1
a1 = x4 + x2 + x1
a3 = x4 + x3 + x2
a2 = x4 + x3 + x1
a1 = x4 + x2 + x1
仔细读读下面的文字也许你就明白了：呵呵
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
海明码(Hamming Code )编码的关键是使用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
码字(Code Word) 按如下方法构建：
1、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)
2、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)
…
如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0.
举例说明：
一个字节的数据：10011010
构造数据字(Data Word),对应的校验位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置的比特位):
位置1检查1,3,5,7,9,11:
? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置2检查2,3,6,7,10,11:
0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置4检查4,5,6,7,12:
0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0
位置8检查8,9,10,11,12:
0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
因此码字为: 011100101010.
查找并纠错一位错误
上例中构建了一个码字 011100101010，假定实际接收到的数据是011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进行更正。方法就是验证每一个校验位。记下所有出错的校验位，可以发现校验位2和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来，对所有校验位进行检查, 将所有出错的校验位置相加, 得到的就是错误信息所在的位置
